ある試験の結果が正規分布に従うとき、平均点が50点、標準偏差が15点である。30点以上70点以下の受験者が300人であるとき、受験者の総数を求める。

1. 問題の内容

ある試験の結果が正規分布に従うとき、平均点が50点、標準偏差が15点である。30点以上70点以下の受験者が300人であるとき、受験者の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標準化する。

$X$ を試験の得点とすると、$X$ は平均 $\mu = 50$、標準偏差 $\sigma = 15$ の正規分布に従う。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ とすると、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

30点と70点を標準化すると、それぞれ

$Z_1 = \frac{30 - 50}{15} = -\frac{20}{15} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$

$Z_2 = \frac{70 - 50}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

となる。

(2) 標準正規分布表を用いる。

$P(Z \le 1.33) \approx 0.9082$

$P(Z \le -1.33) = 1 - P(Z \le 1.33) \approx 1 - 0.9082 = 0.0918$

したがって、$P(-1.33 \le Z \le 1.33) = P(Z \le 1.33) - P(Z \le -1.33) \approx 0.9082 - 0.0918 = 0.8164$

つまり、30点以上70点以下の受験者の割合は約81.64%である。

(3) 受験者の総数を求める。

受験者の総数を$N$とすると、

$0.8164N = 300$

$N = \frac{300}{0.8164} \approx 367.46$

受験者の人数は整数なので、四捨五入して367人。

3. 最終的な答え

367人