ある試験の結果が、平均50点、標準偏差15点の正規分布に従うとする。30点以上70点以下の受験者が300人いるとき、合格点を65点とした場合の合格者数を求めよ。

1. 問題の内容

ある試験の結果が、平均50点、標準偏差15点の正規分布に従うとする。30点以上70点以下の受験者が300人いるとき、合格点を65点とした場合の合格者数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、標準化変数 $z$ を計算します。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ここで、$x$ は得点、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差です。

30点と70点を標準化します。

$z_{30} = \frac{30 - 50}{15} = -\frac{20}{15} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$

$z_{70} = \frac{70 - 50}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

正規分布表で $z = 1.33$ のときの確率を調べます。$P(0 \leq Z \leq 1.33) \approx 0.4082$

したがって、$P(-1.33 \leq Z \leq 1.33) = 2 \times 0.4082 = 0.8164$

これは、全体の受験者数のうち、30点以上70点以下の人が占める割合を表します。

問題文より、この範囲に300人いるので、受験者全体の人数 $N$ は以下のようになります。

$0.8164 \times N = 300$

$N = \frac{300}{0.8164} \approx 367.46$

次に、合格点65点を標準化します。

$z_{65} = \frac{65 - 50}{15} = \frac{15}{15} = 1$

$z = 1$ のとき、$P(0 \leq Z \leq 1) \approx 0.3413$

したがって、$P(Z \geq 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$

これは、全体の受験者数のうち、65点以上の人が占める割合を表します。

合格者数は、

$0.1587 \times N \approx 0.1587 \times 367.46 \approx 58.31$

合格者数は整数なので、約58人とします。

3. 最終的な答え

約58人