3枚の硬貨と1つのサイコロを同時に投げます。硬貨の表の枚数を確率変数 $X$、サイコロの出た目を確率変数 $Y$ とします。確率変数 $XY$ の期待値 $E[XY]$ を求めます。

1. 問題の内容

3枚の硬貨と1つのサイコロを同時に投げます。硬貨の表の枚数を確率変数 $X$、サイコロの出た目を確率変数 $Y$ とします。確率変数 $XY$ の期待値 $E[XY]$ を求めます。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ は独立な確率変数なので、$E[XY] = E[X]E[Y]$ が成り立ちます。

まず、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めます。$X$ は3枚の硬貨を投げた時の表の枚数なので、二項分布 $B(3, 1/2)$ に従います。したがって、$E[X] = 3 \times (1/2) = 3/2$ です。

次に、$Y$ の期待値 $E[Y]$ を求めます。$Y$ はサイコロの出た目なので、$Y$ は 1 から 6 の値を等確率で取ります。したがって、$E[Y] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2$ です。

最後に、$E[XY] = E[X]E[Y] = (3/2) \times (7/2) = 21/4$ を計算します。

3. 最終的な答え

21/4