確率変数$X$の期待値が2、分散が2であり、確率変数$Y$の期待値が1、分散が5である。$X$と$Y$が互いに独立であるとき、確率変数$4X + 2Y$の分散を求める。

1. 問題の内容

確率変数$X$の期待値が2、分散が2であり、確率変数$Y$の期待値が1、分散が5である。$X$と$Y$が互いに独立であるとき、確率変数$4X + 2Y$の分散を求める。

2. 解き方の手順

確率変数$aX + bY$の分散は、XとYが独立であるとき、以下の式で計算できる。

$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$

問題文より、$V(X) = 2$、$V(Y) = 5$、$a = 4$、$b = 2$である。

したがって、$V(4X + 2Y)$は以下のように計算できる。

$V(4X + 2Y) = 4^2V(X) + 2^2V(Y)$

$V(4X + 2Y) = 16V(X) + 4V(Y)$

$V(4X + 2Y) = 16 \times 2 + 4 \times 5$

$V(4X + 2Y) = 32 + 20$

$V(4X + 2Y) = 52$

3. 最終的な答え

52