9人を指定された人数構成の3つのグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 9人を3人ずつの3つのグループに分け、それぞれを部屋A, B, Cに入れる場合の数を求めます。 (2) 9人を3人ずつの3つのグループに分ける場合の数を求めます。 (3) 9人を2人、2人、5人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

1. 問題の内容

9人を指定された人数構成の3つのグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 9人を3人ずつの3つのグループに分け、それぞれを部屋A, B, Cに入れる場合の数を求めます。

(2) 9人を3人ずつの3つのグループに分ける場合の数を求めます。

(3) 9人を2人、2人、5人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、9人から部屋Aに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_{9}C_{3}$通りです。

次に、残りの6人から部屋Bに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{3}$通りです。

最後に、残りの3人から部屋Cに入れる3人を選ぶ組み合わせは $_{3}C_{3}$通りです。

したがって、求める場合の数は

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$通りです。

(2)

まず、9人から3人のグループを選ぶ組み合わせは $_{9}C_{3}$通りです。

次に、残りの6人から次の3人のグループを選ぶ組み合わせは $_{6}C_{3}$通りです。

最後に、残りの3人から最後の3人のグループを選ぶ組み合わせは $_{3}C_{3}$通りです。

しかし、3つのグループは区別されないので、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$通りです。

(3)

まず、9人から5人のグループを選ぶ組み合わせは $_{9}C_{5}$通りです。

次に、残りの4人から2人のグループを選ぶ組み合わせは $_{4}C_{2}$通りです。

最後に、残りの2人から最後の2人のグループを選ぶ組み合わせは $_{2}C_{2}$通りです。

2人のグループは区別されないので、2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{_{9}C_{5} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{2!} = \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \times \frac{1}{2!} = \frac{9!}{5!2!2!2!} \frac{1}{2!} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = 378$

$\frac{_{9}C_{5} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!}}{2} = \frac{126 \times 6}{2} = 126 \times 3 = 378$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 378通り