$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

次に、$x + y$ と $xy$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x^3 + y^3$ は、$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ から、$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ と変形できます。

よって、

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (\sqrt{5})^3 - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{5} = \frac{10\sqrt{5} - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{5}}{2}$