与えられた画像には、組合せ、経路数、グループ分け、文字の並べ替えに関する複数の問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。 (1) 8個のりんごを3人に配る場合の数。 (2) $x+y+z=9$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の数。 (3) 図においてPからQへ行く最短経路の数。 (4) PからQへの最短経路のうち、RS間を通る経路の数。 (5) 9人の生徒を3人ずつのA, B, Cの3組に分ける場合の数。 (6) 9人の生徒を3人ずつの3組に分ける場合の数。 (7) 9人の生徒を2組A, Bに分ける場合の数。 (8) sleeperの7文字を並べ替えてできる文字列の数。 (9) sleeperの7文字を並べ替えた文字列のうち、両端に'e'がない文字列の数。

1. 問題の内容

与えられた画像には、組合せ、経路数、グループ分け、文字の並べ替えに関する複数の問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。

(1) 8個のりんごを3人に配る場合の数。

(2) $x+y+z=9$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の数。

(3) 図においてPからQへ行く最短経路の数。

(4) PからQへの最短経路のうち、RS間を通る経路の数。

(5) 9人の生徒を3人ずつのA, B, Cの3組に分ける場合の数。

(6) 9人の生徒を3人ずつの3組に分ける場合の数。

(7) 9人の生徒を2組A, Bに分ける場合の数。

(8) sleeperの7文字を並べ替えてできる文字列の数。

(9) sleeperの7文字を並べ替えた文字列のうち、両端に'e'がない文字列の数。

2. 解き方の手順

(1) りんご8個を3人に配る問題。これは重複組合せの問題です。3人に配るりんごの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x+y+z=8$ であり、$x, y, z$ は0以上の整数です。したがって、求める場合の数は、

$_{3+8-1}C_{8} = _{10}C_{8} = _{10}C_{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$通り。

(2) $x+y+z=9$を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の数。これは、$x, y, z$が全て1以上の整数であるという条件が付いた場合の組合せの問題です。$x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1$ とおくと、$x', y', z'$ は0以上の整数で、$x'+1 + y'+1 + z'+1 = 9$、つまり $x'+y'+z' = 6$ となります。したがって、求める場合の数は、

$_{3+6-1}C_{6} = _{8}C_{6} = _{8}C_{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$通り。

(3) PからQへ行く最短経路の数。PからQへ行くには、右に5回、下に3回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は、

$\frac{(3+5)!}{3!5!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$通り。

(4) RS間を通る最短経路の数。PからRに行くには右に2回、下に1回移動する必要があり、RからSに行くには右に1回移動する必要があり、SからQに行くには右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、PからRへの経路数は $\frac{(2+1)!}{2!1!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。RからSへの経路数は1通り。SからQへの経路数は $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ 通り。よって、求める経路数は $3 \cdot 1 \cdot 6 = 18$通り。

(5) 9人の生徒を3人ずつA, B, Cの3組に分ける場合の数。これは、9人から3人を選びA組、残りから3人を選びB組、残りをC組とする場合の数を計算します。

${9 \choose 3}{6 \choose 3}{3 \choose 3} = \frac{9!}{3!6!} \cdot \frac{6!}{3!3!} \cdot \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{6 \cdot 6} = 84 \cdot 20 = 1680$ 通り。

(6) 9人の生徒を3人ずつ3組に分ける場合の数。これは、(5)で求めたA, B, Cの区別をなくす必要があるので、3!で割る必要があります。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り。

(7) 9人の生徒を2組A, Bに分ける場合の数。各生徒はAかBのどちらかの組に属するので、$2^9$ 通りの分け方があります。ただし、全てAに属する場合と全てBに属する場合を除く必要があり、またA,Bの区別をなくす必要があります。よって、$\frac{2^9 - 2}{2} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ 通り。

(8) sleeperの7文字を並べ替えてできる文字列の数。sleeperの文字は、sが1つ、lが1つ、eが3つ、pが1つ、rが1つです。したがって、並べ替えの総数は、

$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ 通り。

(9) sleeperの7文字を並べ替えた文字列のうち、両端に'e'がない文字列の数。まず、両端にeが来る場合の数を計算します。両端にeを置くと、残りの5文字（s, l, e, p, r）を並べ替える必要があります。この並べ方は $5! = 120$通り。

次に、少なくとも片方がeである場合の数を求めることは難しいので、全体から両端にeがない場合を引くことは難しいです。

s,l,p,rから2つ選んで両端に置く場合の数は $4 \cdot 3 = 12$通り。残りの5文字の並び方は$\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$通り。よって$12 \times 20 = 240$通り。

3. 最終的な答え

(1) 45通り

(2) 28通り

(3) 56通り

(4) 18通り

(5) 1680通り

(6) 280通り

(7) 255通り

(8) 840通り

(9) 240通り