$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - ax - 6}{x - 2}$ が存在するように $a$ の値を定め、その極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - ax - 6}{x - 2}$ が存在するように $a$ の値を定め、その極限値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が 2 に近づくとき、分母 $x-2$ は 0 に近づきます。極限が存在するためには、分子 $x^2 - ax - 6$ も $x=2$ のときに 0 にならなければなりません。したがって、

$2^2 - 2a - 6 = 0$

$4 - 2a - 6 = 0$

$-2 - 2a = 0$

$-2a = 2$

$a = -1$

これで、$a$ の値が求まりました。$a = -1$ を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$

分子を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2}$

$x \neq 2$ のとき、$x - 2$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} (x + 3)$

$x$ を 2 に近づけると、

$2 + 3 = 5$

3. 最終的な答え

$a = -1$ であり、極限値は 5 である。