与えられた画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。具体的には、以下の問題が含まれています。 (1) 8個のリンゴを3人に配る方法の数。もらわない人がいても良い。 (2) 方程式 $x + y + z = 9$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の数。 (3) 図におけるPからQへの最短経路の数。 (4) (3)の最短経路のうち、RからSを通る経路の数。 (5) 9人の生徒を3人ずつのA、B、Cの3つのグループに分ける方法の数。 (6) 9人の生徒を3人ずつの3つのグループに分ける方法の数。 (7) 9人の生徒を2つのグループA、Bに分ける方法の数。 (8) "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列の数。 (9) "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列のうち、両端に'e'がない文字列の数。

1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。具体的には、以下の問題が含まれています。

(1) 8個のリンゴを3人に配る方法の数。もらわない人がいても良い。

(2) 方程式 $x + y + z = 9$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の数。

(3) 図におけるPからQへの最短経路の数。

(4) (3)の最短経路のうち、RからSを通る経路の数。

(5) 9人の生徒を3人ずつのA、B、Cの3つのグループに分ける方法の数。

(6) 9人の生徒を3人ずつの3つのグループに分ける方法の数。

(7) 9人の生徒を2つのグループA、Bに分ける方法の数。

(8) "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列の数。

(9) "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列のうち、両端に'e'がない文字列の数。

2. 解き方の手順

(1) リンゴの配り方：

これは重複組み合わせの問題です。

$n$個のものを$r$人に配る方法は、$_{n+r-1}C_{r-1}$で計算できます。

ここでは、$n=8$、$r=3$なので、

$_{8+3-1}C_{3-1} = _{10}C_{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通り。

(2) 方程式を満たす自然数の組：

$x + y + z = 9$を満たす自然数解の個数を求める。

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$とすると、$x', y', z' \geq 0$であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9$

$x' + y' + z' = 6$

これは重複組み合わせの問題なので、$_{6+3-1}C_{3-1} = _{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り。

(3) PからQへの最短経路：

右に5回、下に3回移動する必要があるので、計8回の移動。

そのうち右が5回なので、

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

(4) RからSを通る最短経路：

PからRへの最短経路は $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り。

RからSへの最短経路は1通り。

SからQへの最短経路は $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り。

したがって、$4 \times 1 \times 4 = 16$ 通り。

(5) 9人を3人ずつのA、B、Cの3つのグループに分ける方法：

まず9人から3人を選ぶ方法：$_9C_3$

残りの6人から3人を選ぶ方法：$_6C_3$

残りの3人は自動的に決まる：$_3C_3$

したがって、$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6} = 84 \times 20 = 1680$通り。

(6) 9人を3人ずつの3つのグループに分ける方法：

グループに区別がない場合、(5)で求めたものをグループ数の階乗で割る必要がある。

したがって、$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り。

(7) 9人の生徒を2つのグループA、Bに分ける方法：

各生徒はAまたはBのどちらかに属するので、2つの選択肢がある。

したがって、$2^9$通り。ただし、AもBも空になる場合は除く必要がある。

また、AとBの区別はないので、全体を2で割る。しかし、AまたはBが空集合になる場合は、割る必要がないので、別途計算。

9人が全員Aに入るかBに入るかの2通りを除く。

$2^9 = 512$

空集合を許さないとすると、$512 - 2 = 510$ 通り。

AとBの区別がない場合は $\frac{510}{2} = 255$通り。

さらに空集合の場合を除外した2通りを足して、$255+2 = 256$通りとする考え方もある。

(8) "sleeper" の7文字を並べ替える方法：

"e" が3つあるので、$\frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$通り。

(9) 両端にeがない文字列の数：

まず、7文字からeでない5文字を選ぶ並べ方は、5! = 120通り。

その両端の2つのスペースにeでない文字を置く。

e以外の文字はsleeperで、s,l,p,r の4つのアルファベットである。

7文字並べる文字列全体から、両端にeがある場合、片方だけにeがある場合を引く。

両端にeがある場合：

_ e _ _ _ _ e _

残りの5文字の並べ方は $\frac{5!}{1!} = 120$通り (eが1つ残るので。)

片方だけにeがある場合:

e _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ e

片方だけにeがある場合、残りのeの数は2個

残りの6文字並べ方は$\frac{6!}{2!} \times 2= 360 \times 2= 720$通り。

別のアプローチ:

e以外の文字を並べると 4P2= 4*3= 12

残りの5文字からeは3個なので、5!/3!= 5*4=20

12*20= 240

3. 最終的な答え

(1) 45通り

(2) 28組

(3) 56通り

(4) 16通り

(5) 1680通り

(6) 280通り

(7) 256通り

(8) 840通り

(9) 240通り