この問題は、いくつかの場合の数を求める問題です。 (1) りんごの配り方 (2) 方程式の解の個数 (3) 最短経路の数 (4) 特定の区間を通る最短経路の数 (5) グループ分けの数（区別あり） (6) グループ分けの数（区別なし） (7) グループ分けの数（2組） (8) 文字列の並び替えの数 (9) 特定の条件を満たす文字列の並び替えの数

1. 問題の内容

この問題は、いくつかの場合の数を求める問題です。

(1) りんごの配り方

(2) 方程式の解の個数

(3) 最短経路の数

(4) 特定の区間を通る最短経路の数

(5) グループ分けの数（区別あり）

(6) グループ分けの数（区別なし）

(7) グループ分けの数（2組）

(8) 文字列の並び替えの数

(9) 特定の条件を満たす文字列の並び替えの数

2. 解き方の手順

(1) りんご8個を3人に配る問題

この問題は、重複組み合わせの問題です。3人に配るりんごの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x+y+z = 8$ となります。ここで、$x, y, z$ は0以上の整数です。

重複組み合わせの公式を用いると、求める場合の数は、

$_{3+8-1}C_{8} = _{10}C_{8} = _{10}C_{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通り

したがって、答えは45通りです。

(2) 方程式 $x+y+z = 9$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ の個数

この問題は、$x, y, z$ が自然数であるという条件が付いています。つまり、$x, y, z \geq 1$ です。

$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$ とおくと、$x', y', z'$ は0以上の整数となり、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 9$ より、$x' + y' + z' = 6$ となります。

ここで、$x', y', z'$ は0以上の整数です。

重複組み合わせの公式を用いると、求める場合の数は、

$_{3+6-1}C_{6} = _{8}C_{6} = _{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

したがって、答えは28通りです。

(3) PからQへ行く最短経路の数

PからQへ行くには、右に5回、下に3回移動する必要があります。したがって、合計8回の移動のうち、右への移動が5回、下への移動が3回であるような経路の数を求めます。

これは、同じものを含む順列の問題として考えることができます。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

したがって、答えは56通りです。

(4) (3)の最短経路のうち、RS間を通るものの数

PからRまでの最短経路は、右に3回、下に1回移動する必要があります。したがって、$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

SからQまでの最短経路は、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、PからRを経由し、Sを経由してQへ行く最短経路の数は、 $4 \times 6 = 24$ 通りです。

したがって、答えは24通りです。

(5) 9人の生徒を3人ずつA, B, Cの3組に分ける方法

まず、9人から3人を選ぶ方法は $_{9}C_{3}$ 通りです。

次に、残りの6人から3人を選ぶ方法は $_{6}C_{3}$ 通りです。

最後に、残りの3人は自動的にC組に決まります。

したがって、分ける方法は $_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6} = 84 \times 20 = 1680$ 通りです。

したがって、答えは1680通りです。

(6) 9人の生徒を3人ずつ3組に分ける方法

(5)で求めたA, B, Cの区別がある場合から、区別をなくすためには3!で割る必要があります。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

したがって、答えは280通りです。

(7) 9人の生徒を2組A, Bに分ける方法

9人の中からA組にするメンバーの数を選ぶ方法を考える。1人から8人まで考えられるので$_{9}C_{1} + _{9}C_{2} + ... + _{9}C_{8}$ 通りとなる。

これは$2^{9}$から全員A組、全員B組となる2通りを引いたものに等しい。

したがって $2^{9} - 2 = 512 - 2 = 510$。ただし、A,Bは区別しないため、半分にする必要がある。

$\frac{510}{2} = 255$ 通り。

(もしくは、9人の中から何人かAのグループを選び、残りをBのグループとする。ただし、各グループに少なくとも1人は必要。 $\sum_{k=1}^8 {}_9C_k = 2^9 - {}_9C_0 - {}_9C_9 = 512 - 2 = 510$。ここで、AとBの区別がないので、2で割る。 $\frac{510}{2} = 255$ )

したがって、答えは255通りです。

(8) sleeperの7文字を並べ替えてできる文字列の数

sleeper の7文字のうち、eが3つあります。したがって、可能な文字列の数は、

$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り

したがって、答えは840通りです。

(9) 両端にeが存在しないようなsleeperの文字列の数

両端以外にeが来るように並べる。

sleeperのe以外の文字はs, l, p, r の4文字。

まず、両端の文字を決める。e以外の4文字から2文字を選び並べるので、$4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの5文字はeが3つと、それ以外の2文字。これを並べる方法は$\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$通り。

したがって、$12 \times 20 = 240$通り。

したがって、答えは240通りです。

3. 最終的な答え

(1) 45通り

(2) 28通り

(3) 56通り

(4) 24通り

(5) 1680通り

(6) 280通り

(7) 255通り

(8) 840通り

(9) 240通り