この問題は、確率に関する複数の小問から構成されています。具体的には、 (1) 赤球5個と白球6個が入った袋から3個の球を取り出すとき、赤球2個と白球1個を取り出す確率 (2) 同じ袋から3個の球を取り出すとき、少なくとも1個は白球を取り出す確率 (3) 3つのサイコロを投げたとき、3つとも異なる目が出る確率 (4) 3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、AとBは同じ目で、CはA, Bと異なる目が出る確率 (5) 3つのサイコロを投げたとき、3つのうち2つは同じ目で1つは違う目が出る確率 (6) A, B, C, D, E, Fの6文字を1列に並べるとき、Aが左端または右端にくる確率 (7) A, B, C, D, E, Fの6文字を1列に並べるとき、Aが左端に来るか、Bが右端に来る確率 (8) 3人でじゃんけんをするとき、1人が勝つ確率 (9) 4人でじゃんけんをするとき、2人が勝つ確率 をそれぞれ求めるものです。

1. 問題の内容

この問題は、確率に関する複数の小問から構成されています。具体的には、

(1) 赤球5個と白球6個が入った袋から3個の球を取り出すとき、赤球2個と白球1個を取り出す確率

(2) 同じ袋から3個の球を取り出すとき、少なくとも1個は白球を取り出す確率

(3) 3つのサイコロを投げたとき、3つとも異なる目が出る確率

(4) 3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、AとBは同じ目で、CはA, Bと異なる目が出る確率

(5) 3つのサイコロを投げたとき、3つのうち2つは同じ目で1つは違う目が出る確率

(6) A, B, C, D, E, Fの6文字を1列に並べるとき、Aが左端または右端にくる確率

(7) A, B, C, D, E, Fの6文字を1列に並べるとき、Aが左端に来るか、Bが右端に来る確率

(8) 3人でじゃんけんをするとき、1人が勝つ確率

(9) 4人でじゃんけんをするとき、2人が勝つ確率

をそれぞれ求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) 全事象は、11個の球から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ 通りです。

赤球2個と白球1個を選ぶ組み合わせは、 $_5C_2 \times _6C_1 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 6 = 10 \times 6 = 60$ 通りです。

したがって、確率は $\frac{60}{165} = \frac{4}{11}$ となります。

(2) 少なくとも1個は白球を取り出す確率は、1から全て赤球を取り出す確率を引くことで求められます。

全て赤球を取り出す組み合わせは、 $_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、全て赤球を取り出す確率は $\frac{10}{165} = \frac{2}{33}$ です。

したがって、少なくとも1個は白球を取り出す確率は $1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$ となります。

(3) 全事象は、 $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

3つとも違う目が出る組み合わせは、 $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

したがって、確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ となります。

(4) AとBが同じ目になる組み合わせは6通り。そのそれぞれに対しCはAとBの目以外の5通りの目が出ます。従って、 $6 \times 5 = 30$ 通りです。

したがって、確率は $\frac{30}{216} = \frac{5}{36}$ となります。

(5) 3つのうち2つが同じ目で1つが違う目が出る組み合わせは、まず同じ目が出る2つのサイコロの選び方が $_{3}C_2 = 3$ 通り。同じ目となる出目が6通り。残りのサイコロの出目が5通り。

したがって、確率は $3 \times 6 \times 5 = 90$通り。

したがって、確率は $\frac{90}{216} = \frac{5}{12}$ となります。

(6) 全事象は $6! = 720$ 通りです。

Aが左端に来る組み合わせは $5! = 120$ 通り。Aが右端に来る組み合わせも $5! = 120$ 通り。

Aが左端または右端に来る組み合わせは、 $120 + 120 = 240$ 通りです。

したがって、確率は $\frac{240}{720} = \frac{1}{3}$ となります。

(7) Aが左端に来る組み合わせは $5! = 120$ 通り。Bが右端に来る組み合わせは $5! = 120$ 通り。Aが左端、かつBが右端に来る組み合わせは $4! = 24$ 通り。

Aが左端またはBが右端に来る組み合わせは、 $120 + 120 - 24 = 216$ 通りです。

したがって、確率は $\frac{216}{720} = \frac{3}{10}$ となります。

(8) 3人が出す手の組み合わせは $3^3 = 27$ 通り。

1人が勝つ場合、誰が勝つか3通り。何で勝つか3通り。残りの2人があいこになるので、手は同じものを出すしかない。あいこなので、負ける人の手は一つに決まる。

したがって、確率は $\frac{3 \times 3}{27} = \frac{1}{3}$ となります。

(9) 4人が出す手の組み合わせは $3^4 = 81$ 通り。

2人が勝つ場合、勝つ2人の選び方は $_{4}C_2 = 6$ 通り。何で勝つか3通り。残りの2人があいこになるので、手は同じものを出すしかない。あいこなので、負ける人の手は一つに決まる。

したがって、確率は $\frac{6 \times 3}{81} = \frac{2}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{11}$

(2) $\frac{31}{33}$

(3) $\frac{5}{9}$

(4) $\frac{5}{36}$

(5) $\frac{5}{12}$

(6) $\frac{1}{3}$

(7) $\frac{3}{10}$

(8) $\frac{1}{3}$

(9) $\frac{2}{9}$