複素数 $1+i$ を極形式で表し、$ (1+i)^6 $ を計算する問題です。与えられた式は、 $1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$ であり、これを用いて $(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^6 = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = -8i$ と計算されています。

1. 問題の内容

複素数 $1+i$ を極形式で表し、$(1+i)^6$ を計算する問題です。与えられた式は、

$1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

であり、これを用いて

$(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^6 = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = -8i$

と計算されています。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$ を極形式で表します。

複素数 $z = a+bi$ の極形式は $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されます。ここで、$r = \sqrt{a^2+b^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

この問題では、$a=1$、$b=1$なので、$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$です。また、$\cos\theta = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\theta = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。したがって、$1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$となります。

(2) $(1+i)^6$ を計算します。

ド・モアブルの定理を用いると、

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

が成り立ちます。これを用いると、

$(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^6 = 8 (\cos\frac{6\pi}{4} + i\sin\frac{6\pi}{4}) = 8 (\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$

$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$なので、

$8 (\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = 8(0 - i) = -8i$

となります。

3. 最終的な答え

$(1+i)^6 = -8i$