与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解、もしくは解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解、もしくは解を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。

$x^4 - 6x^2 + 1$ を $(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1)$ とおきます。

展開すると、

$x^4 + bx^3 + x^2 + ax^3 + abx^2 + ax + x^2 + bx + 1 = x^4 + (a+b)x^3 + (2+ab)x^2 + (a+b)x + 1$

となります。

係数を比較すると、

$a+b = 0$

$2+ab = -6$

$a+b = 0$ より $b = -a$

$2 + a(-a) = -6$

$2 - a^2 = -6$

$a^2 = 8$

$a = \pm 2\sqrt{2}$

よって、$a = 2\sqrt{2}, b = -2\sqrt{2}$ または $a = -2\sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}$となります。

したがって、

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$