$2 + \sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+2b}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$2 + \sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+2b}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2 + \sqrt{7}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$4 < 2 + \sqrt{7} < 5$ となります。

したがって、$2 + \sqrt{7}$ の整数部分は $a = 4$ です。

小数部分 $b$ は、$b = (2 + \sqrt{7}) - a = (2 + \sqrt{7}) - 4 = \sqrt{7} - 2$ となります。

次に、$a + 2b$ を計算します。

$a + 2b = 4 + 2(\sqrt{7} - 2) = 4 + 2\sqrt{7} - 4 = 2\sqrt{7}$ となります。

最後に、$\frac{1}{a+2b}$ を計算します。

$\frac{1}{a+2b} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{7}}$