$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを証明し、また等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを証明し、また等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。

2. 解き方の手順

（1）$x > 0$ のとき、$\frac{1}{x} > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ が成り立つ。

（2）式を整理すると、

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{1}$

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

したがって、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が証明された。

（3）等号が成り立つのは、$x > 0$ かつ $x = \frac{1}{x}$ のときである。

$x = \frac{1}{x}$ より、$x^2 = 1$ 。$x > 0$ より、$x = 1$ である。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つ。等号が成り立つのは、$x = 1$ のときである。