多項式Aを多項式Bで割ったときの商と余りが与えられているとき、多項式Bを求める問題です。 (1) $A = 3x^2 - 4x + 5$ を $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $4$ である。 (2) $A = x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を $B$ で割ると、商が $x-2$、余りが $-2x + 7$ である。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

多項式Aを多項式Bで割ったときの商と余りが与えられているとき、多項式Bを求める問題です。

(1) $A = 3x^2 - 4x + 5$ を $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $4$ である。

(2) $A = x^3 - 2x^2 + 3x - 3$ を $B$ で割ると、商が $x-2$、余りが $-2x + 7$ である。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式 $A = BQ + R$ を利用します。ここで、$A$ は割られる多項式、$B$ は割る多項式、$Q$ は商、$R$ は余りです。この式を変形して $B$ を求めることができます。

(1) $3x^2 - 4x + 5 = B(x-1) + 4$

両辺から 4 を引くと、

$3x^2 - 4x + 1 = B(x-1)$

$B = \frac{3x^2 - 4x + 1}{x-1}$

$3x^2 - 4x + 1$ を $x-1$ で割ると、

$3x^2 - 4x + 1 = (x-1)(3x-1)$

よって、

$B = 3x - 1$

(2) $x^3 - 2x^2 + 3x - 3 = B(x-2) + (-2x + 7)$

両辺に $2x-7$ を足すと、

$x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = B(x-2)$

$B = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 10}{x-2}$

$x^3 - 2x^2 + 5x - 10$ を $x-2$ で割ると、

$x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = (x-2)(x^2 + 5)$

よって、

$B = x^2 + 5$

3. 最終的な答え

(1) $B = 3x - 1$

(2) $B = x^2 + 5$