与えられた式 $\sqrt{2} \times \sqrt[6]{2 \div \sqrt[3]{2^2}}$ を簡略化し、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{2} \times \sqrt[6]{2 \div \sqrt[3]{2^2}}$ を簡略化し、その値を求める。

2. 解き方の手順

まず、式全体を指数表記に変換します。

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$

$\sqrt[3]{2^2} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$

$\sqrt[6]{2 \div \sqrt[3]{2^2}} = \sqrt[6]{2 \div 2^{2/3}}$

次に、$2 \div 2^{2/3}$ を簡略化します。

$2 \div 2^{2/3} = 2^1 \div 2^{2/3} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$

したがって、$\sqrt[6]{2 \div \sqrt[3]{2^2}} = \sqrt[6]{2^{1/3}} = (2^{1/3})^{1/6} = 2^{1/18}$

元の式に戻って、計算します。

$\sqrt{2} \times \sqrt[6]{2 \div \sqrt[3]{2^2}} = 2^{1/2} \times 2^{1/18} = 2^{1/2 + 1/18}$

$1/2 + 1/18 = 9/18 + 1/18 = 10/18 = 5/9$

したがって、答えは $2^{5/9}$

3. 最終的な答え

$2^{5/9}$