大人5人と子供4人が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。以下の3つの条件についてそれぞれの場合の数を求めます。 (1) 両端が子供である。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ。 (3) どの子供も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人5人と子供4人が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。以下の3つの条件についてそれぞれの場合の数を求めます。

(1) 両端が子供である。

(2) 大人と子供が交互に並ぶ。

(3) どの子供も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 両端が子供である場合：

まず、両端に並ぶ子供の選び方を考えます。4人の中から2人を選ぶので、$4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

次に、残りの7人 (大人5人と子供2人) の並び方を考えます。これは7人の順列なので、$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通りです。

したがって、両端が子供である並び方は、$12 \times 5040 = 60480$ 通りです。

(2) 大人と子供が交互に並ぶ場合：

大人5人と子供4人が交互に並ぶためには、大人が両端に来るしかありません。

まず、大人の並び方を考えます。5人の大人の順列なので、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

次に、子供の並び方を考えます。4人の子供の順列なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、大人と子供が交互に並ぶ並び方は、$120 \times 24 = 2880$ 通りです。

(3) どの子供も隣り合わない場合：

まず、5人の大人を1列に並べます。これは$5! = 120$通りです。

次に、大人と大人の間 (および両端) の6つのスペースに子供を並べます。

4人の子供を6つのスペースから選んで並べるので、$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通りです。

したがって、どの子供も隣り合わない並び方は、$120 \times 360 = 43200$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 両端が子供である並び方：60480通り

(2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方：2880通り

(3) どの子供も隣り合わない並び方：43200通り