与えられた問題は、集合、命題の真偽、必要条件・十分条件に関する以下の4つの小問から構成されています。 (1) 集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ があり、$A \cap B = \{5, 9\}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、$A \cup B$ を求めよ。 (2) 次の命題の真偽を調べよ。 (i) 実数 $a, b$ について、$a^2 = b^2$ ならば $a = b$。 (ii) 実数 $x$ について、$|x| < 3$ ならば $x < 3$。 (iii) 実数 $x$ について、$x < 1$ ならば $|x| < 1$。 (3) $x, y$ は実数とする。「$xy = 0$ は $x = 0$ であるための何条件か」を、必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、の中から選べ。 (4) 「三角形 ABC の3辺が等しいことは、三角形 ABC の3つの角が等しいことのための何条件か」を、必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、の中から選べ。

1. 問題の内容

与えられた問題は、集合、命題の真偽、必要条件・十分条件に関する以下の4つの小問から構成されています。

(1) 集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ があり、$A \cap B = \{5, 9\}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、$A \cup B$ を求めよ。

(2) 次の命題の真偽を調べよ。

(i) 実数 $a, b$ について、$a^2 = b^2$ ならば $a = b$。

(ii) 実数 $x$ について、$|x| < 3$ ならば $x < 3$。

(iii) 実数 $x$ について、$x < 1$ ならば $|x| < 1$。

(3) $x, y$ は実数とする。「$xy = 0$ は $x = 0$ であるための何条件か」を、必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、の中から選べ。

(4) 「三角形 ABC の3辺が等しいことは、三角形 ABC の3つの角が等しいことのための何条件か」を、必要十分条件、必要条件であるが十分条件ではない、十分条件であるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない、の中から選べ。

2. 解き方の手順

(1)

$A \cap B = \{5, 9\}$ より、$A$ は $5$ と $9$ を要素に持つ必要があるので、$a^2 = 9$ でなければならない。

よって、$a = 3$ または $a = -3$。

$a = 3$ のとき、$A = \{2, 5, 9\}, B = \{4, 2, 3+b, 9\}$ となる。

このとき、$A \cap B = \{2, 5, 9\}$ となるが、問題文より $A \cap B = \{5, 9\}$ であるので、$a = 3$ は不適。

$a = -3$ のとき、$A = \{2, 5, 9\}, B = \{4, -4, -3+b, 9\}$ となる。

このとき、$A \cap B = \{5, 9\}$ であるためには、$-3+b = 5$ である必要があるので、$b = 8$。

したがって、$a = -3, b = 8$。

$a = -3, b = 8$ のとき、$A = \{2, 5, 9\}, B = \{4, -4, 5, 9\}$ なので、$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$。

(2)

(i) $a^2 = b^2$ ならば $a = b$ は偽。反例は $a = 1, b = -1$ ($1^2 = (-1)^2 = 1$ だが $1 \neq -1$)。

(ii) $|x| < 3$ ならば $x < 3$ は真。$|x| < 3$ は $-3 < x < 3$ を意味するので、特に $x < 3$ は成り立つ。

(iii) $x < 1$ ならば $|x| < 1$ は偽。反例は $x = -2$ ($-2 < 1$ だが $|-2| = 2 > 1$)。

(3)

$xy = 0$ ならば $x = 0$ であるための条件を考える。

$xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ である。

$x = 0$ ならば $xy = 0$ である。

したがって、$xy = 0$ は $x = 0$ であるための必要条件である。

しかし、$x = 0$ ならば $xy = 0$ であるが、$xy=0$ でも $y$ が0でないとき(例: $x=1$, $y=0$) $x$ は $0$ ではない可能性があるので、十分条件ではない。

よって、必要条件であるが十分条件ではない。

(4)

三角形 ABC の3辺が等しいことは、三角形 ABC の3つの角が等しいことのための条件を考える。

三角形 ABC の3辺が等しいならば、三角形 ABC は正三角形であり、3つの角はすべて $60^\circ$ で等しい。

逆に、三角形 ABC の3つの角が等しいならば、三角形 ABC は正三角形であり、3辺はすべて等しい。

したがって、3辺が等しいことは3つの角が等しいことの必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 8$, $A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$

(2) (i) 偽, (ii) 真, (iii) 偽

(3) 必要条件であるが十分条件ではない

(4) 必要十分条件