問題は、集合 $A, B, C, D$ が与えられたとき、条件 $x \in B \cap D$ が $x \in \overline{A}$ であるための何であるか、および条件 $x \in (A \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための何であるかを答える問題です。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。選択肢として、必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないが与えられています。

1. 問題の内容

問題は、集合 $A, B, C, D$ が与えられたとき、条件 $x \in B \cap D$ が $x \in \overline{A}$ であるための何であるか、および条件 $x \in (A \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための何であるかを答える問題です。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。選択肢として、必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合を確認します。

* $A = \{x \mid x^2 \ge 4\} = \{x \mid x \le -2 \text{ or } x \ge 2\}$

* $B = \{x \mid 1 \le x \le 2\}$

* $C = \{1, 2\}$

* $D = \{-4, -2, 1, 2\}$

* $\overline{A} = \{x \mid -2 < x < 2\}$

(ア) $x \in B \cap D$ は $x \in \overline{A}$ であるための何であるか。

$B \cap D = \{1, 2\}$

$x \in B \cap D$ ならば $x = 1$ または $x = 2$ です。

$x = 1$ ならば $x \in \overline{A}$ です ($x = 1$ は $-2 < x < 2$ を満たす)。

$x = 2$ ならば $x \notin \overline{A}$ です ($x = 2$ は $-2 < x < 2$ を満たさない)。

したがって、$x \in B \cap D$ は $x \in \overline{A}$ であるための十分条件ではありません。

$x \in \overline{A}$ ならば $-2 < x < 2$ です。

このとき、$x \in B \cap D$ とは限りません（例えば $x = 0$）。

したがって、$x \in B \cap D$ は $x \in \overline{A}$ であるための必要条件ではありません。

よって、$x \in B \cap D$ は $x \in \overline{A}$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(イ) $x \in (A \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための何であるか。

$A \cup B = \{x \mid x \le -2 \text{ or } x \ge 1\}$

$(A \cup B) \cap D = \{-4, -2, 1, 2\}$

$x \in (A \cup B) \cap D$ ならば $x = -4, -2, 1,$ または $2$ です。

$x = -4$ ならば $x \notin C$

$x = -2$ ならば $x \notin C$

$x = 1$ ならば $x \in C$

$x = 2$ ならば $x \in C$

したがって、$x \in (A \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための十分条件ではありません。

$x \in C$ ならば $x = 1$ または $x = 2$ です。

$x = 1$ ならば $x \in (A \cup B) \cap D$

$x = 2$ ならば $x \in (A \cup B) \cap D$

したがって、$x \in (A \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための必要条件です。

よって、$x \in (A \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための必要条件であるが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 0