順列と階乗の計算、整数の作成、文字の並べ替え、役職の選出、座席の配置に関する問題を解きます。

1. 問題の内容

順列と階乗の計算、整数の作成、文字の並べ替え、役職の選出、座席の配置に関する問題を解きます。

2. 解き方の手順

1. (1) 順列の計算: $ {}_5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) 順列の計算: ${}_4P_1 = \frac{4!}{(4-1)!} = \frac{4!}{3!} = 4$

(3) 順列の計算: ${}_7P_7 = \frac{7!}{(7-7)!} = \frac{7!}{0!} = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) 階乗の計算: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(5) 順列の一般式: ${}_nP_3 = \frac{n!}{(n-3)!} = n(n-1)(n-2)$

2. (1) 異なる5桁の整数の作成: 7個の数字から5個を選んで並べるので、$ {}_7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

(2) 文字列の作成: "triangle"の8個の文字を並べる。全ての文字が異なるので、$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

3. (1) 役職の選出: 20人の中から議長、副議長、書記を選ぶ。順序が重要なので、順列を用いる。$ {}_{20}P_3 = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

(2) 座席の配置: 8個の椅子に6人を座らせる。順序が重要なので、順列を用いる。${}_8P_6 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

3. 最終的な答え

1. (1) 60

(2) 4

(3) 5040

(4) 120

(5) $n(n-1)(n-2)$

2. (1) 2520

(2) 40320

3. (1) 6840

(2) 20160