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## 問題の解答

離散数学組み合わせ順列場合の数整数
2025/6/12
## 問題の解答
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1. 問題の内容

画像の問題は、主に組み合わせと順列に関する問題です。具体的には、以下のような問題が含まれています。
* **問題3(1):** 20人の中から議長、副議長、書記を1人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めない。
* **問題3(2):** 番号のついた8個のいすに6人の人を座らせる方法は何通りあるか。
* **問題4(1):** 5人乗りの車に5人が乗車してドライブをするとき、5人全員が運転免許を持っている場合、乗り方は何通りあるか。
* **問題4(2):** 5人乗りの車に5人が乗車してドライブをするとき、5人のうち3人だけが運転免許を持っている場合、乗り方は何通りあるか。
* **問題5(1):** 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使ってできる、6桁の整数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わない。
* **問題5(2):** 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使ってできる、6桁の整数で5の倍数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わない。
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2. 解き方の手順

**問題3(1):**
* 議長、副議長、書記の順に選ぶ人を決めます。
* 議長の選び方は20通りです。
* 副議長の選び方は、議長に選ばれた人以外から選ぶので19通りです。
* 書記の選び方は、議長と副議長に選ばれた人以外から選ぶので18通りです。
* したがって、選び方の総数は 20×19×1820 \times 19 \times 18 で計算できます。
**問題3(2):**
* まず、8個のいすの中から6個のいすを選ぶ必要があります。これは 8P6_{8}P_{6} で計算できます。
* 計算式は 8×7×6×5×4×38 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 です。
**問題4(1):**
* 運転できる人が5人いるので、運転席に座る人は5通り。
* 残りの席には残りの4人が自由に座るので、4!4! 通り。
* したがって、乗り方は 5×4!5 \times 4! で計算できます。
* 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
**問題4(2):**
* 運転できる3人のうち誰が運転するかを決めます。これは3通りです。
* 残りの席には残りの4人が自由に座るので、4!4! 通り。
* したがって、乗り方は 3×4!3 \times 4! で計算できます。
* 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
**問題5(1):**
* 6桁の整数なので、一番左の桁（百の位）には0以外の数字が入ります。つまり、1, 2, 3, 4, 5のいずれか。
* 一番左の桁の選び方は5通り。
* 次に、残りの5桁は、残りの5個の数字から順に選んでいくので、5!, 5×4×3×2×15 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1通り。
* したがって、6桁の整数の個数は 5×5!5 \times 5! で計算できます。
**問題5(2):**
* 6桁の整数が5の倍数になるためには、一番右の桁（一の位）が0か5である必要があります。
* **場合1: 一番右の桁が0の場合**
* 一番右の桁が0の場合、残りの5桁は1, 2, 3, 4, 5の5個の数字から選ぶことになります。
* 一番左の桁には0以外の数字が入る必要があるので、残りの5個の数字から選ぶことができます。
* したがって、残りの5桁は 5!5! 通りです。
* **場合2: 一番右の桁が5の場合**
* 一番右の桁が5の場合、一番左の桁には0も5も使えないので、1, 2, 3, 4の4個の数字から選ぶことになります。
* 次に、残りの4桁は、残りの4個の数字から順に選んでいくので、4!4! 通りです。
* しかし、まだ0を使うかどうかが決まっていないので注意が必要です。先に百の位から十の位までの4桁を選んで、4×4×3×24 \times 4 \times 3 \times 2 通りの数を作ります。
* したがって、6桁の整数で5の倍数の個数は 5!+4×4×3×25! + 4 \times 4 \times 3 \times 2で計算できます。
* これは、 5!+4×4!5! + 4 \times 4!と書き換えることができます。
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3. 最終的な答え

* **問題3(1):** 20×19×18=684020 \times 19 \times 18 = 6840 通り
* **問題3(2):** 8×7×6×5×4×3=201608 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160 通り
* **問題4(1):** 5×4!=5×24=1205 \times 4! = 5 \times 24 = 120 通り
* **問題4(2):** 3×4!=3×24=723 \times 4! = 3 \times 24 = 72 通り
* **問題5(1):** 5×5!=5×120=6005 \times 5! = 5 \times 120 = 600 個
* **問題5(2):** 5!+4×4!=120+4×24=120+96=2165! + 4 \times 4! = 120 + 4 \times 24 = 120 + 96 = 216 個

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