12人の生徒を、以下の条件で組に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 7人、3人、2人の3組に分ける。 (2) 4人ずつ3組に分ける。 (3) 6人、3人、3人の3組に分ける。

はい、承知いたしました。問題6を解きます。

1. 問題の内容

12人の生徒を、以下の条件で組に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 7人、3人、2人の3組に分ける。

(2) 4人ずつ3組に分ける。

(3) 6人、3人、3人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 7人、3人、2人の3組に分ける場合

12人の中から7人を選び、残りの5人の中から3人を選び、最後に残った2人を2人の組にする場合の数を計算します。

これは組み合わせの問題なので、以下の式で計算できます。

$_{12}C_7 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{12!}{7!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!}$

計算すると、

$\frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$\frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、 $792 \times 10 \times 1 = 7920$通りとなります。

(2) 4人ずつ3組に分ける場合

12人の中から4人を選び、残りの8人の中から4人を選び、最後に残った4人を4人の組にする場合の数を計算します。ただし、3つの組は区別がないので、3!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_4 \times _8C_4 \times _4C_4}{3!} = \frac{\frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{3!}$

計算すると、

$\frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

$\frac{4!}{4!0!} = 1$

したがって、 $\frac{495 \times 70 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{34650}{6} = 5775$通りとなります。

(3) 6人、3人、3人の3組に分ける場合

12人の中から6人を選び、残りの6人の中から3人を選び、最後に残った3人を3人の組にする場合の数を計算します。ただし、3人の組は区別がないので、2!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_6 \times _6C_3 \times _3C_3}{2!} = \frac{\frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{2!}$

計算すると、

$\frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$

$\frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$\frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、 $\frac{924 \times 20 \times 1}{2 \times 1} = \frac{18480}{2} = 9240$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 7920通り

(2) 5775通り

(3) 9240通り