$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x - \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x - \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}-3}$

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} + 3$ を掛ける。

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{5-9} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{-4} = -\frac{\sqrt{5}+3}{2}$

(1) $x - \frac{1}{x}$

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}-3}{2} - \left(-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}-3}{2} + \frac{\sqrt{5}+3}{2} = \frac{\sqrt{5}-3+\sqrt{5}+3}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{5})^2 + 2 = 5 + 2 = 7$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right)$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 1\right)$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})(7 + 1) = \sqrt{5} \cdot 8 = 8\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$

(2) $7$

(3) $8\sqrt{5}$