$1 \leqq x \leqq 5$ のとき、関数 $y = 2\log_5 x + (\log_5 x)^2$ の最大値と最小値を求めます。

## (2) の問題

1. 問題の内容

$1 \leqq x \leqq 5$ のとき、関数 $y = 2\log_5 x + (\log_5 x)^2$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log_5 x$ とおきます。

$1 \leqq x \leqq 5$ なので、$\log_5 1 \leqq \log_5 x \leqq \log_5 5$ より、 $0 \leqq t \leqq 1$ となります。

次に、関数 $y$ を $t$ の関数として表すと、 $y = 2t + t^2$ となります。

これは $y = (t+1)^2 - 1$ と変形できるので、下に凸な放物線です。

軸は $t = -1$ ですが、定義域が $0 \leqq t \leqq 1$ なので、定義域内で考えます。

$t = 0$ のとき、$y = 2(0) + 0^2 = 0$

$t = 1$ のとき、$y = 2(1) + 1^2 = 3$

よって、$t = 1$ のとき最大値 $3$ をとり、$t = 0$ のとき最小値 $0$ をとります。

$t = \log_5 x$ でしたので、$t = 0$ のとき $x = 1$ であり、$t = 1$ のとき $x = 5$ です。

3. 最終的な答え

$x = 5$ のとき、最大値 $3$ をとる。

$x = 1$ のとき、最小値 $0$ をとる。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq 27$ のとき、関数 $y = (\log_3 x)(\log_3 \frac{x}{9})$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\log_3 \frac{x}{9}$ を変形します。

$\log_3 \frac{x}{9} = \log_3 x - \log_3 9 = \log_3 x - 2$

したがって、$y = (\log_3 x)(\log_3 x - 2)$ となります。

ここで、$t = \log_3 x$ とおきます。

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq 27$ なので、$\log_3 \frac{1}{3} \leqq \log_3 x \leqq \log_3 27$ より、 $-1 \leqq t \leqq 3$ となります。

$y = t(t-2) = t^2 - 2t = (t-1)^2 - 1$

これは下に凸な放物線で、軸は $t = 1$ です。

定義域は $-1 \leqq t \leqq 3$ なので、定義域内で考えます。

$t = 1$ のとき、$y = -1$

$t = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

$t = 3$ のとき、$y = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$

したがって、$t = 1$ のとき最小値 $-1$ をとり、$t = -1$ または $t = 3$ のとき最大値 $3$ をとります。

$t = \log_3 x$ でしたので、$t = 1$ のとき $x = 3$ であり、$t = -1$ のとき $x = \frac{1}{3}$ であり、$t = 3$ のとき $x = 27$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3$ のとき、最小値 $-1$ をとる。

$x = \frac{1}{3}$ または $x = 27$ のとき、最大値 $3$ をとる。