問題4：$x$ の値が与えられたとき、$\sqrt{(x+1)^2}$ の値を求めます。 問題5：$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$, $x^3y + xy^3$ の値を求めます。 問題6：$\sqrt{2}$ の値として1.4142を使うとき、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の値を求めます。 問題7：与えられた式を計算し、分母を有理化します。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

まず、問題4、5、6、7を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

問題4：$x$ の値が与えられたとき、$\sqrt{(x+1)^2}$ の値を求めます。

問題5：$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$, $x^3y + xy^3$ の値を求めます。

問題6：$\sqrt{2}$ の値として1.4142を使うとき、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の値を求めます。

問題7：与えられた式を計算し、分母を有理化します。

2. 解き方の手順

問題4：$\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$ であることを利用します。

(1) $x = 3$ のとき、$\sqrt{(3+1)^2} = \sqrt{4^2} = \sqrt{16} = 4$

(2) $x = -1$ のとき、$\sqrt{(-1+1)^2} = \sqrt{0^2} = 0$

(3) $x = -3$ のとき、$\sqrt{(-3+1)^2} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

問題5：

(1) $x + y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $xy = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{3})^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4$

(4) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = (-\frac{1}{2})(4) = -2$

問題6：

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}$

$\sqrt{2} \approx 1.4142$ より、$2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.4142 = 3.4142$

問題7：

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54} = 2\sqrt{9 \cdot 3} - 3\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 6} = 2(3\sqrt{3}) - 3(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2}{3 - 2} = \frac{4 - \sqrt{6}}{1} = 4 - \sqrt{6}$

(5) $\frac{3}{2 - \sqrt{7}} = \frac{3(2 + \sqrt{7})}{(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7})} = \frac{6 + 3\sqrt{7}}{4 - 7} = \frac{6 + 3\sqrt{7}}{-3} = -2 - \sqrt{7}$

(6) $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 + \sqrt{3})} = \frac{(3 + \sqrt{3})\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}(1 + \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{6} + \sqrt{18}}{6(1 + \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6(1 + \sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{18} + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2(1 - 3)} = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2(-2)} = \frac{-2\sqrt{2}}{-4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

問題4：

(1) 4

(2) 0

(3) 2

問題5：

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) 4

(4) -2

問題6：

3.4142

問題7：

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $4 - \sqrt{6}$

(5) $-2 - \sqrt{7}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{2}$