$\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$ のとき、$\frac{xy}{x^2 + y^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$ のとき、$\frac{xy}{x^2 + y^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$ から、$x$ と $y$ の関係式を導き出す。

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$

両辺に6を掛けると、

$3x = 2y$

したがって、$y = \frac{3}{2}x$ となる。

次に、求める式の分母と分子に $y = \frac{3}{2}x$ を代入する。

分子は、

$xy = x(\frac{3}{2}x) = \frac{3}{2}x^2$

分母は、

$x^2 + y^2 = x^2 + (\frac{3}{2}x)^2 = x^2 + \frac{9}{4}x^2 = \frac{4}{4}x^2 + \frac{9}{4}x^2 = \frac{13}{4}x^2$

したがって、

$\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{\frac{3}{2}x^2}{\frac{13}{4}x^2}$

$x^2$ で約分すると、

$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{13}{4}} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{13}$