問題は以下の2つです。 (1) $a:b:c = 2:3:4$ のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求める。 (2) $a:b:c = 2:3:4$ かつ $3a+2b+c=32$ のとき、$a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $a:b:c = 2:3:4$ のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求める。

(2) $a:b:c = 2:3:4$ かつ $3a+2b+c=32$ のとき、$a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a:b:c = 2:3:4$ より、$a=2k$, $b=3k$, $c=4k$ ($k$ は定数) と表せる。

これを $\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ に代入する。

分子:

$ab+bc+ca = (2k)(3k) + (3k)(4k) + (4k)(2k) = 6k^2 + 12k^2 + 8k^2 = 26k^2$

分母:

$a^2+b^2+c^2 = (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 29k^2$

したがって、

$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} = \frac{26k^2}{29k^2} = \frac{26}{29}$

(2)

$a:b:c = 2:3:4$ より、$a=2k$, $b=3k$, $c=4k$ と表せる。

これを $3a+2b+c=32$ に代入する。

$3a+2b+c = 3(2k) + 2(3k) + 4k = 6k + 6k + 4k = 16k$

$16k = 32$ より、$k = 2$

したがって、

$a = 2k = 2(2) = 4$

$b = 3k = 3(2) = 6$

$c = 4k = 4(2) = 8$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{26}{29}$

(2) $a=4$, $b=6$, $c=8$