$a:b:c = 2:3:4$のとき、$ \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} $の値を求めよ。ただし、$abc \neq 0$とする。

1. 問題の内容

$a:b:c = 2:3:4$のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$の値を求めよ。ただし、$abc \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

$a:b:c = 2:3:4$なので、$a=2k, b=3k, c=4k$ ($k \neq 0$)とおける。

与えられた式に代入すると、

$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} = \frac{(2k)(3k)+(3k)(4k)+(4k)(2k)}{(2k)^2+(3k)^2+(4k)^2}$

$= \frac{6k^2+12k^2+8k^2}{4k^2+9k^2+16k^2}$

$= \frac{26k^2}{29k^2}$

$= \frac{26}{29}$

3. 最終的な答え

$\frac{26}{29}$