$\frac{1}{3} \le x \le 27$のとき、関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3} \le x \le 27$のとき、関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ を変形する。

$\log_3 3x = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$

$\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$

したがって、

$y = (1 + \log_3 x)(\log_3 x - 3)$

$t = \log_3 x$とおくと、$y = (1 + t)(t - 3) = t^2 - 2t - 3 = (t - 1)^2 - 4$

$\frac{1}{3} \le x \le 27$ より、

$\log_3 \frac{1}{3} \le \log_3 x \le \log_3 27$

$-1 \le \log_3 x \le 3$

$-1 \le t \le 3$

$y = (t - 1)^2 - 4$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $t = 1$。

$t = -1$のとき、$y = (-1 - 1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$t = 1$のとき、$y = (1 - 1)^2 - 4 = -4$

$t = 3$のとき、$y = (3 - 1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、

$t = -1$ または $t = 3$ のとき、最大値 $0$

$t = 1$のとき、最小値 $-4$

$t = \log_3 x$より、

$t = -1$のとき、$x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

$t = 1$のとき、$x = 3^1 = 3$

$t = 3$のとき、$x = 3^3 = 27$

3. 最終的な答え

最大値：0 ($x = \frac{1}{3}, 27$のとき)

最小値：-4 ($x = 3$のとき)