(1) $\frac{x^2-4}{x^2-3x} \times \frac{x}{x+2}$ を計算する。 (3) $\frac{x^2+3x}{x^2-3x} \div \frac{x-2}{x^2-9}$ を計算する。 (2) $\frac{2x+1}{x} \div \frac{x-2}{x^2+5x}$ を計算する。 (4) $\frac{x}{x-3} \div \frac{x^2+2x-15}{x-2}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x^2-4}{x^2-3x} \times \frac{x}{x+2}$ を計算する。

(3) $\frac{x^2+3x}{x^2-3x} \div \frac{x-2}{x^2-9}$ を計算する。

(2) $\frac{2x+1}{x} \div \frac{x-2}{x^2+5x}$ を計算する。

(4) $\frac{x}{x-3} \div \frac{x^2+2x-15}{x-2}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各式を因数分解する。

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$x^2-3x = x(x-3)$

与式は

$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-3)} \times \frac{x}{x+2}$

=$\frac{(x-2)(x+2)x}{x(x-3)(x+2)}$

=$\frac{x-2}{x-3}$

(3)

まず、各式を因数分解する。

$x^2+3x = x(x+3)$

$x^2-3x = x(x-3)$

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

与式は

$\frac{x(x+3)}{x(x-3)} \div \frac{x-2}{(x-3)(x+3)}$

=$\frac{x(x+3)}{x(x-3)} \times \frac{(x-3)(x+3)}{x-2}$

=$\frac{x(x+3)(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x-2)}$

=$\frac{(x+3)^2}{x-2}$

=$\frac{x^2+6x+9}{x-2}$

(2)

まず、各式を因数分解する。

$x^2+5x=x(x+5)$

与式は

$\frac{2x+1}{x} \div \frac{x-2}{x(x+5)}$

=$\frac{2x+1}{x} \times \frac{x(x+5)}{x-2}$

=$\frac{(2x+1)x(x+5)}{x(x-2)}$

=$\frac{(2x+1)(x+5)}{x-2}$

=$\frac{2x^2+11x+5}{x-2}$

(4)

まず、各式を因数分解する。

$x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$

与式は

$\frac{x}{x-3} \div \frac{(x+5)(x-3)}{x-2}$

=$\frac{x}{x-3} \times \frac{x-2}{(x+5)(x-3)}$

=$\frac{x(x-2)}{(x-3)(x+5)(x-3)}$

=$\frac{x(x-2)}{(x-3)^2(x+5)}$

=$\frac{x^2-2x}{(x^2-6x+9)(x+5)}$

=$\frac{x^2-2x}{x^3-x^2-21x+45}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-2}{x-3}$

(3) $\frac{x^2+6x+9}{x-2}$

(2) $\frac{2x^2+11x+5}{x-2}$

(4) $\frac{x^2-2x}{x^3-x^2-21x+45}$