$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $a+b$ と $ab$ (2) $a^2+b^2$ と $a^2-b^2$

1. 問題の内容

$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $a+b$ と $ab$

(2) $a^2+b^2$ と $a^2-b^2$

2. 解き方の手順

(1)

$a+b$を計算します。

$a+b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$

$ab$を計算します。

$ab = (\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})$

$ab = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

(2)

$a^2+b^2$を計算します。

$a^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 6\sqrt{2}$

$b^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{9 \times 2} = 9 - 6\sqrt{2}$

$a^2+b^2 = (9 + 6\sqrt{2}) + (9 - 6\sqrt{2}) = 18$

$a^2-b^2$を計算します。

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

$a+b = 2\sqrt{6}$ (既出)

$a-b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

$a^2-b^2 = (2\sqrt{6})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b = 2\sqrt{6}$, $ab = 3$

(2) $a^2+b^2 = 18$, $a^2-b^2 = 12\sqrt{2}$