与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 + \left(\frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 + \left(\frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、数式を整理します。最初の項は、

$\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{8} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}$

次の項は、

$\left(\frac{k - 4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{k - 16\pi(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、全体の式は、

$\frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{k - 16\pi(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

問題文にkの値が与えられていないため、ここでは仮に$k=16\pi(\pi+6)$であると仮定します。

すると、第二項目は0になります。

すると、

$\frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{\pi}{6} \left(\frac{16\pi(\pi+6)}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} \left(16\pi\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{\pi}{6}(4\sqrt{\pi})^3 = \frac{\pi}{6} 64\pi \sqrt{\pi}=\frac{32}{3} \pi^2 \sqrt{\pi}$

3. 最終的な答え

kの値が与えられていないため、k=16π(π+6)と仮定すると、最終的な答えは$\frac{32}{3} \pi^2 \sqrt{\pi}$となります。

kが特定の値である場合は、その値を代入して計算してください。

もしk=0ならば、

$\frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{k - 16\pi(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}= \left(\frac{- 16\pi(\pi+6)}{6}\right)^{\frac{3}{2}}= \left(\frac{- 8\pi(\pi+6)}{3}\right)^{\frac{3}{2}}$

これは複素数になります。