行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ の変形が与えられており、$PA = E$ となる行列 $P$ を基本行列の積として表す問題です。ただし、$E$は単位行列を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ の変形が与えられており、$PA = E$ となる行列 $P$ を基本行列の積として表す問題です。ただし、$E$は単位行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の変形過程を追います。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{(1)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{(2)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{(3)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$$

(1) の操作は、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く操作です。この操作に対応する基本行列は $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

(2) の操作は、3行目から2行目の3倍を引く操作です。この操作に対応する基本行列は $E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ です。

(3) の操作は、1行目から3行目の3倍を引き、2行目に3行目の2倍を足す操作です。この操作に対応する基本行列は $E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

したがって、$E_3 E_2 E_1 A = E$ が成り立ちます。つまり、$P = E_3 E_2 E_1$ です。

$$P = E_3 E_2 E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 1 & 9 & -3 \\ 0 & -5 & 2 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 9 & -3 \\ 9 & -5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

したがって、$P = \begin{pmatrix} 20 & 9 & -3 \\ 9 & -5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

与えられた変形からは、$PA=E$を満たす$P$が、$A$に施した操作に対応する基本行列を左から順に掛けていったものの積の逆行列になることが分かります。したがって、$P = E_3E_2E_1$であり、$E_1$, $E_2$, $E_3$はそれぞれ上記の基本行列に対応します。

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} 20 & 9 & -3 \\ 9 & -5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$