2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。 (1) $\alpha-2$, $\beta-2$ (2) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ (3) $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$

代数学二次方程式解と係数の関係解の変換
2025/6/13

1. 問題の内容

2次方程式 x27x1=0x^2 - 7x - 1 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。
(1) α2\alpha-2, β2\beta-2
(2) 2α\frac{2}{\alpha}, 2β\frac{2}{\beta}
(3) α+β\alpha+\beta, αβ\alpha\beta

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、α+β=7\alpha + \beta = 7 および αβ=1\alpha\beta = -1 である。2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 (ただし、a0a \ne 0) の2つの解を γ\gamma, δ\delta とすると、この方程式は x2(γ+δ)x+γδ=0x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma\delta = 0 と変形できる(a=1a=1の場合)。
(1) 解が α2\alpha-2, β2\beta-2 の場合
和は (α2)+(β2)=α+β4=74=3(\alpha-2) + (\beta-2) = \alpha + \beta - 4 = 7 - 4 = 3
積は (α2)(β2)=αβ2(α+β)+4=12(7)+4=114+4=11(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha\beta - 2(\alpha+\beta) + 4 = -1 - 2(7) + 4 = -1 - 14 + 4 = -11
したがって、x23x11=0x^2 - 3x - 11 = 0
(2) 解が 2α\frac{2}{\alpha}, 2β\frac{2}{\beta} の場合
和は 2α+2β=2(α+β)αβ=2(7)1=14\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = \frac{2(\alpha + \beta)}{\alpha\beta} = \frac{2(7)}{-1} = -14
積は 2α2β=4αβ=41=4\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha\beta} = \frac{4}{-1} = -4
したがって、x2(14)x4=0x^2 - (-14)x - 4 = 0 つまり、x2+14x4=0x^2 + 14x - 4 = 0
(3) 解が α+β\alpha+\beta, αβ\alpha\beta の場合
和は (α+β)+(αβ)=7+(1)=6(\alpha+\beta) + (\alpha\beta) = 7 + (-1) = 6
積は (α+β)(αβ)=(7)(1)=7(\alpha+\beta)(\alpha\beta) = (7)(-1) = -7
したがって、x26x7=0x^2 - 6x - 7 = 0

3. 最終的な答え

(1) x23x11=0x^2 - 3x - 11 = 0
(2) x2+14x4=0x^2 + 14x - 4 = 0
(3) x26x7=0x^2 - 6x - 7 = 0

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