2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。 (1) $\alpha-2$, $\beta-2$ (2) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ (3) $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。

(1) $\alpha-2$, $\beta-2$

(2) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$

(3) $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 7$ および $\alpha\beta = -1$ である。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ (ただし、$a \ne 0$) の2つの解を $\gamma$, $\delta$ とすると、この方程式は $x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma\delta = 0$ と変形できる（$a=1$の場合）。

(1) 解が $\alpha-2$, $\beta-2$ の場合

和は $(\alpha-2) + (\beta-2) = \alpha + \beta - 4 = 7 - 4 = 3$

積は $(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha\beta - 2(\alpha+\beta) + 4 = -1 - 2(7) + 4 = -1 - 14 + 4 = -11$

したがって、$x^2 - 3x - 11 = 0$

(2) 解が $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ の場合

和は $\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = \frac{2(\alpha + \beta)}{\alpha\beta} = \frac{2(7)}{-1} = -14$

積は $\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha\beta} = \frac{4}{-1} = -4$

したがって、$x^2 - (-14)x - 4 = 0$ つまり、$x^2 + 14x - 4 = 0$

(3) 解が $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ の場合

和は $(\alpha+\beta) + (\alpha\beta) = 7 + (-1) = 6$

積は $(\alpha+\beta)(\alpha\beta) = (7)(-1) = -7$

したがって、$x^2 - 6x - 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 3x - 11 = 0$

(2) $x^2 + 14x - 4 = 0$

(3) $x^2 - 6x - 7 = 0$