与えられた7つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた7つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、$ad - bc$で計算します。

(2) 3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開を用いて計算します。

(3) 4x4以上の行列の行列式は、行または列に関する余因子展開を用いて計算します。対角成分以外の成分が0である行または列を選択して、計算を簡略化します。

(1)

$\begin{vmatrix} 5 & 1234 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = (5)(7) - (1234)(0) = 35$

(2)

$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 3((-2)(5) - (0)(1)) = 3(-10) = -30$

(3)

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & -7 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + (-7) \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3((-2)(3) - (2)(1)) - 5(0) - 7(0) = 3(-6-2) = 3(-8) = -24$

(4)

$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -9 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = (3)(-1)(2)(-3) = 18$

(5)

$\begin{vmatrix} 5 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & 0 & -3 \\ 3 & -6 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -3 \\ -6 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 9 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 - 0 = 5(2 \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}) = 5(2((0)(2) - (-3)(1))) = 5(2(3)) = 5(6) = 30$

(6)

$\begin{vmatrix} -1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1)[1(1(-3) - 0(1)) - (-1)(2(-3) - 0(1)) + 1(2(1) - 1(1))] = (-1)[1(-3) + 1(-6) + 1(1)] = (-1)[-3 - 6 + 1] = (-1)[-8] = 8$

(7) 行列式は0です。なぜならば、最初の4列が線形従属だからです。最初の列 + 第2列 = 第3列となるため、行列式は0となります。

3. 最終的な答え

(1) 35

(2) -30

(3) -24

(4) 18

(5) 30

(6) 8

(7) 0