行列 $A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、次の関係式が成り立つような実数 $a, b$ の値を求め、または関係式を求めよ。 (1) $A^2 = A$ (2) $B^2 = -B$ (3) $AB = BA$ (4) $AB = -BA$ (5) $(A+B)^2 = O$ (零行列) (6) $(A-B)^2 = E_2$ (単位行列)

1. 問題の内容

行列 $A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、次の関係式が成り立つような実数 $a, b$ の値を求め、または関係式を求めよ。

(1) $A^2 = A$

(2) $B^2 = -B$

(3) $AB = BA$

(4) $AB = -BA$

(5) $(A+B)^2 = O$ (零行列)

(6) $(A-B)^2 = E_2$ (単位行列)

2. 解き方の手順

(1) $A^2 = A$ のとき

$A^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 + a(2-a) & 2a \\ 4-2a & 1 + a(2-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1 + 2a - a^2}{4} & \frac{a}{2} \\ \frac{2-a}{2} & \frac{1 + 2a - a^2}{4} \end{pmatrix}$

これが $A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ に等しいので、

$\frac{1 + 2a - a^2}{4} = \frac{1}{2}$ より $1 + 2a - a^2 = 2$ すなわち $a^2 - 2a + 1 = 0$ よって $(a-1)^2 = 0$ より $a = 1$。

(2) $B^2 = -B$ のとき

$B^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 - b(-1+2b) & 1 - 2b - 1 + 2b \\ -b - b & -b(-1+2b) + 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1+b-2b^2 & 0 \\ -2b & 1+b-2b^2 \end{pmatrix}$

これが $-B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1-2b \\ -b & 1 \end{pmatrix}$ に等しいので、

$\frac{1+b-2b^2}{4} = \frac{1}{2}$ より $1+b-2b^2 = 2$ すなわち $2b^2 - b + 1 = 0$.

$\frac{-2b}{4} = \frac{-b}{2}$

これは実数解を持たない。

(3) $AB = BA$のとき

$AB = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1+ab & -1+2b-a \\ -2+a+b & -2+a+2b-a \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1+ab & -1+2b-a \\ -2+a+b & -2+2b \end{pmatrix}$

$BA = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1-2+a+2b-ab & -a-1+2b \\ b-2+a & ab-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -3+a+2b-ab & -a-1+2b \\ b-2+a & ab-1 \end{pmatrix}$

$AB = BA$より

$-1+ab = -3+a+2b-ab$ かつ $-1+2b-a = -a-1+2b$ かつ $-2+a+b = b-2+a$ かつ $-2+2b = ab-1$

$-1+ab = -3+a+2b-ab$ より $2ab - a - 2b + 2 = 0$

$-2+2b = ab-1$ より $ab-2b-1=0$ すなわち $ab = 2b+1$ これを$2ab - a - 2b + 2 = 0$ に代入すると $2(2b+1)-a-2b+2=0$より $4b+2-a-2b+2=0$ つまり $2b+4=a$.

$a = 2b+4$を$ab=2b+1$に代入して、$(2b+4)b = 2b+1$, $2b^2+4b = 2b+1$, $2b^2+2b-1 = 0$ $b = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$. よって $a = 2(\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2})+4 = -1 \pm \sqrt{3}+4 = 3 \pm \sqrt{3}$

したがって、$a=3+\sqrt{3}, b = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ または $a=3-\sqrt{3}, b=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.

(4) $AB = -BA$のとき

$AB = -BA$より、$-1+ab = 3-a-2b+ab$ かつ $-1+2b-a = a+1-2b$ かつ $-2+a+b = -b+2-a$ かつ $-2+2b = -ab+1$.

$-1+2b-a=a+1-2b$より$4b-2=2a$つまり$2b-1 = a$. $-2+a+b=-b+2-a$より$2a+2b=4$つまり$a+b=2$.

$-2+2b = -ab+1$より$2b+ab=3$つまり$b(2+a)=3$, $b=\frac{3}{2+a}$.

したがって、$a = 2b-1$を$a+b=2$に代入すると、$2b-1+b=2$, $3b=3$, $b=1$. $a=2(1)-1=1$.

$ab=-3+1$つまり$1(2+1)=3$, $3=3$ ok.

$-2+2b = -ab+1$に代入して、$1(2+1)=3$, $3=3$ ok.

$a = 1, b = 1$

(5) $(A+B)^2 = O$ のとき

$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = O$

$A^2+B^2 + AB+BA=O$.

(6) $(A-B)^2 = E_2$ のとき

$(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2 = E_2$

$A^2+B^2 - (AB+BA)=E_2$.

最終的な答え

(1) $a=1$

(2) 解なし

(3) $a=3+\sqrt{3}, b = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ または $a=3-\sqrt{3}, b=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

(4) $a = 1, b = 1$

(5) 解答不能

(6) 解答不能