3つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$、$C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 6 \end{pmatrix}$とする。 これらの行列を用いて、$A + B - C$を計算する。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

3つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$、$C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 6 \end{pmatrix}$とする。

これらの行列を用いて、$A + B - C$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$A + B$を計算する。行列の足し算は、対応する要素同士を足し合わせることで行う。

次に、$A + B - C$を計算する。行列の引き算は、対応する要素同士を引き算することで行う。

$A+B = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 7+4 & 3+1 \\ 2+4 & 0+2 & 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 11 & 4 \\ 6 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

$A+B-C = \begin{pmatrix} 2 & 11 & 4 \\ 6 & 2 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 11-2 & 4-3 \\ 6-6 & 2-0 & 6-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 0 & 9 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

3つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$とする。

これらの行列を用いて、$2A - 5B$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$2A$と$5B$をそれぞれ計算する。行列のスカラー倍は、行列の各要素にスカラーを掛けることで行う。

次に、$2A - 5B$を計算する。行列の引き算は、対応する要素同士を引き算することで行う。

$2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1) & 2(2) \\ 2(0) & 2(1) \\ 2(3) & 2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$

$5B = 5 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(0) & 5(1) \\ 5(1) & 5(2) \\ 5(0) & 5(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 10 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}$

$2A - 5B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 10 \\ 0 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 & 4-5 \\ 0-5 & 2-10 \\ 6-0 & 0-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -8 \\ 6 & -15 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -8 \\ 6 & -15 \end{pmatrix}$

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

2つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$とする。

これらの行列を用いて、$AB$を計算する。

2. 解き方の手順

$A$は$3 \times 2$行列、$B$は$2 \times 2$行列なので、$AB$は$3 \times 2$行列になる。

$AB$の$(i,j)$要素は、$A$の$i$行と$B$の$j$列の対応する要素同士の積の和で計算される。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+3(2) & 1(4)+3(7) \\ 2(1)+(-1)(2) & 2(4)+(-1)(7) \\ 5(1)+0(2) & 5(4)+0(7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+6 & 4+21 \\ 2-2 & 8-7 \\ 5+0 & 20+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 25 \\ 0 & 1 \\ 5 & 20 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 7 & 25 \\ 0 & 1 \\ 5 & 20 \end{pmatrix}$

## 問題1 (4)

1. 問題の内容

2つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 6 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$とする。

これらの行列を用いて、$AB$を計算する。

2. 解き方の手順

$A$は$2 \times 3$行列、$B$は$3 \times 2$行列なので、$AB$は$2 \times 2$行列になる。

$AB$の$(i,j)$要素は、$A$の$i$行と$B$の$j$列の対応する要素同士の積の和で計算される。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 6 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)+7(3)+3(0) & 1(2)+7(6)+3(6) \\ 2(2)+0(3)+5(0) & 2(2)+0(6)+5(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+21+0 & 2+42+18 \\ 4+0+0 & 4+0+30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 62 \\ 4 & 34 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 23 & 62 \\ 4 & 34 \end{pmatrix}$

## 問題1 (5)

1. 問題の内容

2つの行列が与えられ、$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$とする。

これらの行列を用いて、$AB$を計算する。

2. 解き方の手順

$A$は$3 \times 3$行列、$B$は$3 \times 3$行列なので、$AB$は$3 \times 3$行列になる。

$AB$の$(i,j)$要素は、$A$の$i$行と$B$の$j$列の対応する要素同士の積の和で計算される。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+(-3)(0)+5(0) & 2(2)+(-3)(-1)+5(1) & 2(1)+(-3)(1)+5(2) \\ 5(1)+1(0)+1(0) & 5(2)+1(-1)+1(1) & 5(1)+1(1)+1(2) \\ (-2)(1)+0(0)+2(0) & (-2)(2)+0(-1)+2(1) & (-2)(1)+0(1)+2(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4+3+5 & 2-3+10 \\ 5 & 10-1+1 & 5+1+2 \\ -2 & -4+0+2 & -2+0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 12 & 9 \\ 5 & 10 & 8 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 2 & 12 & 9 \\ 5 & 10 & 8 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

## 問題1 (6)

1. 問題の内容

行列$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$が与えられている。これらの行列の積を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$の積を計算する。この積は、$1 \times 3$行列と$3 \times 2$行列の積なので、$1 \times 2$行列になる。

次に、求めた$1 \times 2$行列と$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$の積を計算する。この積は、$1 \times 2$行列と$2 \times 1$行列の積なので、$1 \times 1$行列になる。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+3(2)+(-1)(5) & 2(-1)+3(1)+(-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+6-5 & -2+3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(3)+(-2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix} = 7$

## 問題1 (7)

1. 問題の内容

行列$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$の$n$乗を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$, $A^3$を計算し、規則性を見つける。

$A^2 = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 2\alpha & 1 \\ 0 & \alpha^2 & 2\alpha \\ 0 & 0 & \alpha^2 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 2\alpha & 1 \\ 0 & \alpha^2 & 2\alpha \\ 0 & 0 & \alpha^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^3 & 3\alpha^2 & 3\alpha \\ 0 & \alpha^3 & 3\alpha^2 \\ 0 & 0 & \alpha^3 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & n\alpha^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2} \\ 0 & \alpha^n & n\alpha^{n-1} \\ 0 & 0 & \alpha^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \alpha^n & n\alpha^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2} \\ 0 & \alpha^n & n\alpha^{n-1} \\ 0 & 0 & \alpha^n \end{pmatrix}$

## 問題1 (8)

1. 問題の内容

行列$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \beta \end{pmatrix}$の$n$乗を計算する。

2. 解き方の手順

$A$はブロック対角行列なので、$A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$と表現できる。ただし、$A_1 = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$、$A_2 = \begin{pmatrix} \beta & 1 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$である。

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} A_1^n & 0 \\ 0 & A_2^n \end{pmatrix}$となる。

$A_1$と$A_2$は同じ形なので、$A_1^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & n\alpha^{n-1} \\ 0 & \alpha^n \end{pmatrix}$、$A_2^n = \begin{pmatrix} \beta^n & n\beta^{n-1} \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix}$となる。

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & n\alpha^{n-1} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha^n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta^n & n\beta^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \beta^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \alpha^n & n\alpha^{n-1} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha^n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta^n & n\beta^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \beta^n \end{pmatrix}$