与えられた行列 $A$ の変形が与えられており、$PA=E$ となる行列 $P$ を基本行列の積として表す問題です。ただし、$E$ は単位行列です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の変形が与えられており、$PA=E$ となる行列 $P$ を基本行列の積として表す問題です。ただし、$E$ は単位行列です。

2. 解き方の手順

与えられた行列 $A$ の変形は、$A$ に基本行列を左から掛ける操作に対応しています。これらの基本行列の積が $P^{-1}$ になります。したがって、$P$ はそれらの基本行列の逆行列の積として表されます。与えられた変形を順に見ていき、それぞれの変形に対応する基本行列を求め、その逆行列を計算します。

まず、与えられた変形は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

最初の変形は、2行目を1行目の-2倍を加える操作（$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$）と、3行目を1行目の-1倍を加える操作（$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$）に対応します。この変形に対応する基本行列は

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

であり、その逆行列は

$E_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

です。

次の変形は、3行目を2行目の-3倍を加える操作（$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$）に対応します。この変形に対応する基本行列は

$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

であり、その逆行列は

$E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

です。

最後の変形は、1行目を3行目の-3倍を加える操作（$R_1 \rightarrow R_1 - 3R_3$）と、2行目を3行目の2倍を加える操作（$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_3$）に対応します。この変形に対応する基本行列は

$E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

であり、その逆行列は

$E_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

です。

したがって、$P^{-1} = E_3 E_2 E_1$ であり、$P = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1}$ です。つまり、

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$