与えられた行列 $A$ の変形過程から、 $PA = E$ を満たす行列 $P$ を基本行列の積として表現します。ここで $E$ は単位行列です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の変形過程から、 $PA = E$ を満たす行列 $P$ を基本行列の積として表現します。ここで $E$ は単位行列です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ の変形過程を基本行列による操作として捉えます。

$A$ から単位行列 $E$ への変形は、基本行列を左から掛けていくことで実現されます。

各変形に対応する基本行列を求め、それらの積を求めることで $P$ を得ることができます。

与えられた変形は以下の通りです。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E

$$

各ステップの基本行列を求めます。

- ステップ1: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

これは、2行目から1行目の2倍を引く ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)、3行目から1行目を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$) 操作に対応します。

基本行列は

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

- ステップ2: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは、3行目から2行目の3倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$) 操作に対応します。

基本行列は

$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

- ステップ3: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは、1行目から3行目の3倍を引く ($R_1 \rightarrow R_1 - 3R_3$)、2行目に3行目の2倍を足す ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_3$) 操作に対応します。

基本行列は

$E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$E_3 E_2 E_1 A = E$ となり、$P = E_3 E_2 E_1$ です。

$P = E_3 E_2 E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 9 & -3 \\ 0 & -5 & 2 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 & 9 & -3 \\ 8 & -5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} -16 & 9 & -3 \\ 8 & -5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}$