(4) 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (5) 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ の解を求める。選択肢の中から当てはまる番号を選ぶ。 (6) 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

(4) 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(5) 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ の解を求める。選択肢の中から当てはまる番号を選ぶ。

(6) 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(4)

2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ である。

判別式 $D$ は、

$D = (m+1)^2 - 4(3m - 2)$

$D = m^2 + 2m + 1 - 12m + 8$

$D = m^2 - 10m + 9$

$D > 0$ より

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m - 1)(m - 9) > 0$

したがって、$m < 1, 9 < m$

(5)

$x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x - 3)^2 > 0$

$x \ne 3$

よって、解は $x = 3$ 以外のすべての実数。選択肢は②。

(6)

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するための条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = m^2 - (-2m - 1) = m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 = 0$

$m = -1$

このとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ となるので、接点の座標は $(1, 0)$

3. 最終的な答え

(4) $m < 1, 9 < m$

(5) ②

(6) $m = -1$, 接点の座標は $(1, 0)$