初項から第n項までの和 $S_n$ が与えられた数列 ${a_n}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。以下の4つの $S_n$ について $a_n$ を求めます。 (1) $S_n = n^2 + n$ (2) $S_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$ (3) $S_n = \frac{1}{n}$ (4) $S_n = 2n + 3$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

初項から第n項までの和 $S_n$ が与えられた数列 ${a_n}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。以下の4つの $S_n$ について $a_n$ を求めます。

(1) $S_n = n^2 + n$

(2) $S_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

(3) $S_n = \frac{1}{n}$

(4) $S_n = 2n + 3$

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、以下の関係式を利用します。

* $a_1 = S_1$

* $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)

(1) $S_n = n^2 + n$ の場合

$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 = 2$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - ((n-1)^2 + (n-1)) = (n^2 + n) - (n^2 - 2n + 1 + n - 1) = n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1 = 2n$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$ となり、$a_1$ と一致するため、$a_n = 2n$ は $n \ge 1$ で成立します。

(2) $S_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$ の場合

$a_1 = S_1 = 3 \cdot (-2)^{1-1} = 3 \cdot (-2)^0 = 3 \cdot 1 = 3$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1} - 3 \cdot (-2)^{n-2} = 3 \cdot (-2)^{n-2} \cdot (-2 - 1) = 3 \cdot (-2)^{n-2} \cdot (-3) = -9 \cdot (-2)^{n-2} = 9 \cdot (-2)^{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 9 \cdot (-2)^{1-1} = 9 \cdot 1 = 9$ となり、$S_1 = 3$ と一致しないため、場合分けが必要です。

(3) $S_n = \frac{1}{n}$ の場合

$a_1 = S_1 = \frac{1}{1} = 1$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} = \frac{n-1 - n}{n(n-1)} = \frac{-1}{n(n-1)}$

$n=1$ のとき、定義できないため、場合分けが必要です。

(4) $S_n = 2n + 3$ の場合

$a_1 = S_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n + 3) - (2(n-1) + 3) = 2n + 3 - (2n - 2 + 3) = 2n + 3 - 2n + 2 - 3 = 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 5$ となり、$a_n = 2$ と一致しないため、場合分けが必要です。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n$

(2) $a_1 = 3$, $a_n = 9 \cdot (-2)^{n-2}$ ($n \ge 2$)

(3) $a_1 = 1$, $a_n = \frac{-1}{n(n-1)}$ ($n \ge 2$)

(4) $a_1 = 5$, $a_n = 2$ ($n \ge 2$)