(1) $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、この関数の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求めよ。 (2) この関数の最小値が-6のとき、定数 $a$ の値を求めよ。 放物線 $y = x^2$ を、2点 $(2, 3)$, $(5, 0)$ を通るように平行移動した。この放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、この関数の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求めよ。

(2) この関数の最小値が-6のとき、定数 $a$ の値を求めよ。

放物線 $y = x^2$ を、2点 $(2, 3)$, $(5, 0)$ を通るように平行移動した。この放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ です。定義域は $1 \le x \le 5$ です。

$a > 0$ なので、下に凸のグラフになります。軸 $x = 2$ が定義域に含まれているので、最小値は頂点の $x = 2$ のときにとります。

最大値は $x = 5$ のときにとるので、

$y = a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2$

これが7に等しいので、

$5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) 最小値は $x = 2$ のときにとるので、

$y = a(2 - 2)^2 - 4a + 2 = -4a + 2$

これが-6に等しいので、

$-4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

次に、放物線 $y = x^2$ を平行移動して2点 $(2, 3)$, $(5, 0)$ を通るようにします。

移動後の式を $y = (x - p)^2 + q$ とおきます。

点 $(2, 3)$ を通るので、

$3 = (2 - p)^2 + q$

点 $(5, 0)$ を通るので、

$0 = (5 - p)^2 + q$

2つの式から $q$ を消去します。

$3 - (2 - p)^2 = 0 - (5 - p)^2$

$3 - (4 - 4p + p^2) = - (25 - 10p + p^2)$

$3 - 4 + 4p - p^2 = -25 + 10p - p^2$

$-1 + 4p = -25 + 10p$

$24 = 6p$

$p = 4$

$q = -(5 - 4)^2 = -1$

したがって、移動後の放物線は $y = (x - 4)^2 - 1 = x^2 - 8x + 16 - 1 = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$

$y = x^2 - 8x + 15$