放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(0, -2)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 6$ 上にある放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(0, -2)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 6$ 上にある放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した放物線の方程式は、頂点の座標を $(p, q)$ とすると、

$y = 2(x - p)^2 + q$ と表せる。

頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x - 6$ 上にあるので、

$q = 2p - 6$ が成り立つ。

したがって、放物線の方程式は

$y = 2(x - p)^2 + 2p - 6$ となる。

この放物線が点 $(0, -2)$ を通るので、

$-2 = 2(0 - p)^2 + 2p - 6$ が成り立つ。

これを解くと、

$-2 = 2p^2 + 2p - 6$

$2p^2 + 2p - 4 = 0$

$p^2 + p - 2 = 0$

$(p + 2)(p - 1) = 0$

$p = -2, 1$

$p = -2$ のとき、$q = 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10$

$p = 1$ のとき、$q = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = 2(x - (-2))^2 + (-10)$ つまり $y = 2(x + 2)^2 - 10$

または

$y = 2(x - 1)^2 + (-4)$ つまり $y = 2(x - 1)^2 - 4$

展開すると、

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 10 = 2x^2 + 8x + 8 - 10 = 2x^2 + 8x - 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 4 = 2x^2 - 4x + 2 - 4 = 2x^2 - 4x - 2$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 8x - 2$ または $y = 2x^2 - 4x - 2$