放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に平行移動した放物線が点 $(-1, 0)$ を通る。この放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に平行移動した放物線が点 $(-1, 0)$ を通る。この放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動する。原点対称移動は $(x, y)$ を $(-x, -y)$ に置き換えるので、移動後の放物線の方程式は $-y = (-x)^2 - 2(-x) - 3$ となる。これを整理すると、

$y = -x^2 - 2x + 3$

次に、$x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動する。平行移動は $x$ を $x - p$ に置き換えるので、移動後の放物線の方程式は

$y = -(x - p)^2 - 2(x - p) + 3$

この放物線が点 $(-1, 0)$ を通るので、 $x = -1$, $y = 0$ を代入すると、

$0 = -(-1 - p)^2 - 2(-1 - p) + 3$

$0 = -(1 + 2p + p^2) + 2 + 2p + 3$

$0 = -1 - 2p - p^2 + 2 + 2p + 3$

$0 = -p^2 + 4$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$

よって、求める放物線の方程式は

$y = -(x \mp 2)^2 - 2(x \mp 2) + 3$

$p = 2$ のとき、

$y = -(x - 2)^2 - 2(x - 2) + 3$

$y = -(x^2 - 4x + 4) - 2x + 4 + 3$

$y = -x^2 + 4x - 4 - 2x + 7$

$y = -x^2 + 2x + 3$

$p = -2$ のとき、

$y = -(x + 2)^2 - 2(x + 2) + 3$

$y = -(x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 + 3$

$y = -x^2 - 4x - 4 - 2x - 1$

$y = -x^2 - 6x - 5$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x + 3$ または $y = -x^2 - 6x - 5$