放物線 $y=x^2$ を平行移動して、2点 $(2, 3)$ と $(5, 0)$ を通るようにしたとき、その放物線をグラフとする2次関数を $y = x^2 - \text{コ}x + \text{サシ}$ の形で求めよ。

代数学二次関数放物線平行移動連立方程式展開
2025/6/13

1. 問題の内容

放物線 y=x2y=x^2 を平行移動して、2点 (2,3)(2, 3)(5,0)(5, 0) を通るようにしたとき、その放物線をグラフとする2次関数を y=x2x+サシy = x^2 - \text{コ}x + \text{サシ} の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 y=x2y = x^2 を平行移動した後の2次関数を y=(xp)2+qy = (x-p)^2 + q とおきます。この関数が2点 (2,3)(2, 3)(5,0)(5, 0) を通るので、これらの座標を代入して ppqq に関する連立方程式を立てます。
(2,3)(2, 3) を代入すると、
3=(2p)2+q3 = (2-p)^2 + q
(5,0)(5, 0) を代入すると、
0=(5p)2+q0 = (5-p)^2 + q
これらの式から qq を消去するために、2つの式を引き算します。
30=(2p)2+q((5p)2+q)3 - 0 = (2-p)^2 + q - ((5-p)^2 + q)
3=(2p)2(5p)23 = (2-p)^2 - (5-p)^2
3=(44p+p2)(2510p+p2)3 = (4 - 4p + p^2) - (25 - 10p + p^2)
3=44p+p225+10pp23 = 4 - 4p + p^2 - 25 + 10p - p^2
3=6p213 = 6p - 21
6p=246p = 24
p=4p = 4
p=4p = 40=(5p)2+q0 = (5-p)^2 + q に代入すると、
0=(54)2+q0 = (5-4)^2 + q
0=1+q0 = 1 + q
q=1q = -1
よって、平行移動後の放物線の方程式は y=(x4)21y = (x-4)^2 - 1 となります。
これを展開して y=x2x+サシy = x^2 - \text{コ}x + \text{サシ} の形にすると、
y=(x28x+16)1y = (x^2 - 8x + 16) - 1
y=x28x+15y = x^2 - 8x + 15

3. 最終的な答え

y=x28x+15y = x^2 - 8x + 15
よって、コは 8, サシは 15 である。

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