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与えられた行列 $A$ の正則性を掃き出し法を用いて判定し、正則であれば逆行列 $A^{-1}$ を求めます。 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & -2 \\ 2 & 4 & -4 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix} $

代数学線形代数行列逆行列掃き出し法ガウス・ジョルダン
2025/6/14

1. 問題の内容

与えられた行列 AA の正則性を掃き出し法を用いて判定し、正則であれば逆行列 A−1A^{-1} を求めます。
A=[2400−24224−224−4442042042440] A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & -2 \\ 2 & 4 & -4 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

掃き出し法（ガウス・ジョルダンの消去法）を使って、AA と単位行列 II を並べた拡大行列 [A∣I][A|I] を作り、行基本変形を行って、AA を単位行列 II に変換します。その際、II の部分が A−1A^{-1} に変換されます。もし、AA が単位行列に変形できない場合、AA は正則ではありません。
(1) 拡大行列 [A∣I][A|I] を作成します。
[A∣I]=[2400−2∣100004224−2∣0100024−444∣0010020420∣0001042440∣00001][A|I] = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 & -2 &|& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & -2 &|& 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -4 & 4 & 4 &|& 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 &|& 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 4 & 0 &|& 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(2) 行基本変形を行います。
1行目を1/2倍します。
[1200−1∣1/200004224−2∣0100024−444∣0010020420∣0001042440∣00001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 &|& 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & -2 &|& 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -4 & 4 & 4 &|& 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 &|& 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 4 & 0 &|& 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
2行目を1行目x(-4) + 2行目とします。
3行目を1行目x(-2) + 3行目とします。
4行目を1行目x(-2) + 4行目とします。
5行目を1行目x(-4) + 5行目とします。
[1200−1∣1/200000−6242∣−2100000−446∣−101000−4422∣−100100−6444∣−20001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 &|& 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 2 & 4 & 2 &|& -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 4 & 6 &|& -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 2 & 2 &|& -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 4 & 4 & 4 &|& -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
2行目を-1/6倍します。
[1200−1∣1/2000001−1/3−2/3−1/3∣1/3−1/600000−446∣−101000−4422∣−100100−6444∣−20001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 &|& 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &|& 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 4 & 6 &|& -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 2 & 2 &|& -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 4 & 4 & 4 &|& -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
1行目を2行目x(-2) + 1行目とします。
4行目を2行目x(4) + 4行目とします。
5行目を2行目x(6) + 5行目とします。
[102/34/3−1/3∣−1/61/300001−1/3−2/3−1/3∣1/3−1/600000−446∣−10100008/3−2/32/3∣1/3−2/301000202∣0−1001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2/3 & 4/3 & -1/3 &|& -1/6 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &|& 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 4 & 6 &|& -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8/3 & -2/3 & 2/3 &|& 1/3 & -2/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 &|& 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
3行目を-1/4倍します。
[102/34/3−1/3∣−1/61/300001−1/3−2/3−1/3∣1/3−1/6000001−1−3/2∣1/40−1/400008/3−2/32/3∣1/3−2/301000202∣0−1001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2/3 & 4/3 & -1/3 &|& -1/6 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/3 & -2/3 & -1/3 &|& 1/3 & -1/6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &|& 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8/3 & -2/3 & 2/3 &|& 1/3 & -2/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 &|& 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
1行目を3行目x(-2/3) + 1行目とします。
2行目を3行目x(1/3) + 2行目とします。
4行目を3行目x(-8/3) + 4行目とします。
5行目を3行目x(-2) + 5行目とします。
[10024/3∣−1/31/31/600010−1−1/2∣5/12−1/6−1/1200001−1−3/2∣1/40−1/400000214/3∣−1/2−2/32/31000025∣−1/2−11/201]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 4/3 &|& -1/3 & 1/3 & 1/6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 &|& 5/12 & -1/6 & -1/12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &|& 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 14/3 &|& -1/2 & -2/3 & 2/3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 &|& -1/2 & -1 & 1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
4行目を1/2倍します。
[10024/3∣−1/31/31/600010−1−1/2∣5/12−1/6−1/1200001−1−3/2∣1/40−1/40000017/3∣−1/4−1/31/31/2000025∣−1/2−11/201]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 4/3 &|& -1/3 & 1/3 & 1/6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 &|& 5/12 & -1/6 & -1/12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -3/2 &|& 1/4 & 0 & -1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7/3 &|& -1/4 & -1/3 & 1/3 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 &|& -1/2 & -1 & 1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
1行目を4行目x(-2) + 1行目とします。
2行目を4行目x(1) + 2行目とします。
3行目を4行目x(1) + 3行目とします。
5行目を4行目x(-2) + 5行目とします。
[1000−10/3∣1/61−1/2−10010011/6∣1/6−1/21/41/2000101/6∣0−1/31/121/2000017/3∣−1/4−1/31/31/2000001/3∣0−1/30−11]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -10/3 &|& 1/6 & 1 & -1/2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 11/6 &|& 1/6 & -1/2 & 1/4 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/6 &|& 0 & -1/3 & 1/12 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7/3 &|& -1/4 & -1/3 & 1/3 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 &|& 0 & -1/3 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}
5行目を3倍します。
[1000−10/3∣1/61−1/2−10010011/6∣1/6−1/21/41/2000101/6∣0−1/31/121/2000017/3∣−1/4−1/31/31/2000001∣0−10−33]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -10/3 &|& 1/6 & 1 & -1/2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 11/6 &|& 1/6 & -1/2 & 1/4 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/6 &|& 0 & -1/3 & 1/12 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7/3 &|& -1/4 & -1/3 & 1/3 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}
1行目を5行目x(10/3) + 1行目とします。
2行目を5行目x(-11/6) + 2行目とします。
3行目を5行目x(-1/6) + 3行目とします。
4行目を5行目x(-7/3) + 4行目とします。
[10000∣1/6−7/3−1/2−111001000∣1/611/46−11/200100∣0−1/61/121−1/200010∣−1/421/38−700001∣0−10−33]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &|& 1/6 & -7/3 & -1/2 & -11 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &|& 1/6 & 1 & 1/4 & 6 & -11/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &|& 0 & -1/6 & 1/12 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &|& -1/4 & 2 & 1/3 & 8 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}
したがって、Aは正則であり、逆行列は次のようになります。

3. 最終的な答え

A−1=[1/6−7/3−1/2−11101/611/46−11/20−1/61/121−1/2−1/421/38−70−10−33] A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/6 & -7/3 & -1/2 & -11 & 10 \\ 1/6 & 1 & 1/4 & 6 & -11/2 \\ 0 & -1/6 & 1/12 & 1 & -1/2 \\ -1/4 & 2 & 1/3 & 8 & -7 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}

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