与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、最初の項を計算します。

$\left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、最初の項は、

$\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}}$

次に、2番目の項を計算します。

$\left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、与えられた数式は、

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

この式を整理すると、

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k}{6} - \frac{16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{k}{6} - \frac{8\pi(\pi+6)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

$k = 4\pi (\pi+6)$を代入すると、

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{4\pi(\pi+6)}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{4\pi(\pi+6)}{6} - \frac{8\pi(\pi+6)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} (4\pi)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{2\pi(\pi+6)}{3} - \frac{8\pi(\pi+6)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} (4\pi)^{\frac{3}{2}} + \left( -\frac{6\pi(\pi+6)}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} (4\pi)^{\frac{3}{2}} + (-2\pi(\pi+6))^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} 8\pi\sqrt{\pi} + (-2\pi(\pi+6))^{\frac{3}{2}}$

$\frac{4}{3}\pi^2\sqrt{\pi} + (-2\pi(\pi+6))^{\frac{3}{2}}$

ここで、$k=16\pi(\pi+6)$と仮定すると、

$\frac{\pi}{6} \left( \frac{16\pi(\pi+6)}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} + \left( \frac{16\pi(\pi+6)-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{\pi}{6} (16\pi)^{\frac{3}{2}} + 0$

$\frac{\pi}{6} (16)^{\frac{3}{2}} \pi^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} 64 \pi \sqrt{\pi} = \frac{32}{3} \pi^2 \sqrt{\pi}$

問題文にkの値が与えられていないので、$k=4\pi(\pi+6)$の場合と$k=16\pi(\pi+6)$の場合で計算しました。

$k=4\pi(\pi+6)$のとき、$\frac{4}{3}\pi^2\sqrt{\pi} + (-2\pi(\pi+6))^{\frac{3}{2}}$

$k=16\pi(\pi+6)$のとき、$\frac{32}{3} \pi^2 \sqrt{\pi}$

3. 最終的な答え

問題文にkの値が与えられていないため、kの値によって答えが変わります。

$k=4\pi (\pi+6)$の場合: $\frac{4}{3}\pi^2\sqrt{\pi} + (-2\pi(\pi+6))^{\frac{3}{2}}$

$k=16\pi (\pi+6)$の場合: $\frac{32}{3} \pi^2 \sqrt{\pi}$