与えられた式 $\frac{x}{x^2 - 1} \div \frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 3x - 4}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x}{x^2 - 1} \div \frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 3x - 4}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、除算を乗算に変換します。

$\frac{x}{x^2 - 1} \div \frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 3x - 4} = \frac{x}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 8x + 16}$

次に、各多項式を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$

$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$

これらの因数分解された形式を式に代入します。

$\frac{x}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x + 4)(x + 4)}$

共通因子をキャンセルします。

$\frac{x}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x + 4)(x + 4)} = \frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{1}{(x + 4)}$

最後に、簡略化された式を乗算します。

$\frac{x}{(x + 1)(x + 4)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{(x+1)(x+4)}$