与えられた数式の値を求める問題です。数式は次の通りです。 $\frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 + \left(\frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は次の通りです。

$\frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 + \left(\frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、数式を整理します。

第一項は、

$\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}$

次に、第二項の中身を整理します。

$\frac{k - 4\pi \cdot \frac{k}{4(\pi+6)}}{6} = \frac{k - \frac{\pi k}{\pi+6}}{6} = \frac{k(\pi+6) - \pi k}{6(\pi+6)} = \frac{\pi k + 6k - \pi k}{6(\pi+6)} = \frac{6k}{6(\pi+6)} = \frac{k}{\pi+6}$

したがって、第二項は

$\left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}$

元の数式は

$\frac{\pi}{6} \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{\pi}{6} + 1\right)\left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{\pi+6}{6}\right) \left(\frac{k}{\pi+6}\right)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{6} \frac{(\pi+6)}{(\pi+6)^{3/2}} k^{3/2} = \frac{1}{6 (\pi+6)^{1/2}} k^{3/2}$

もし$k = \pi + 6$ ならば、

$\frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi+6}{\pi+6}}\right)^3 + \left(\frac{\pi+6 - 4\pi \cdot \frac{\pi+6}{4(\pi+6)}}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{\pi+6 - \pi}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{4}{3}\pi\frac{1}{8} + \left(\frac{6}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\pi}{6} + 1 = \frac{\pi+6}{6}$

もし$k=0$なら答えは

0.

問題文にkの値に関する情報がないので、ここではkは一般的な変数と解釈する。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6 \sqrt{\pi+6}} k^{\frac{3}{2}}$